Um reservatório de água está sendo esvaziado e a função indica o volume [em litros] de água presente no reservatório no tempo [em minutos], com . Pergunta-se: A que taxa o volume de água do reservatório varia após 8 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório que está sendo esvaziado, e a quantidade de água nele depende do tempo. A função que descreve isso é , onde é o volume de água em litros e é o tempo em minutos. O que a gente quer descobrir é: qual é a taxa de variação desse volume após 8 minutos? Para resolver isso, vamos precisar usar um conceito de cálculo chamado derivada, que nos ajuda a entender como uma coisa muda em relação a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a derivada nesse contexto. A derivada de em relação a , escrita como , nos diz quão rápido o volume de água está mudando a qualquer instante de tempo. Então, para achar a taxa de variação após 8 minutos, precisamos calcular e depois substituir .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de . Usamos a regra do poder na derivada:
Aqui, a gente aplicou a regra da cadeia: primeiro deriva o termo em relação a , que dá , e depois multiplica pela derivada do interior, que é .
Passo 4
Simplificando a expressão da derivada:
Passo 5
Agora, substituímos na derivada para encontrar a taxa de variação após 8 minutos:
Resposta
A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 minutos é de litros por minuto. Isso significa que o reservatório está esvaziando a uma velocidade de 8800 litros por minuto nesse instante.