Um reservatório com área de fundo de , possui um orifício de parede delgada de 6 cm de diâmetro localizado a uma profundidade de 5 m .
Caso a carga hidráulica não seja mantida constante, ou seja, o reservatório seja esvaziado pelo orifício, qual será o tempo de esvaziamento do reservatório?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um reservatório com uma área de fundo de e um orifício na parede com diâmetro de 6 cm (ou 0,06 m) localizado a uma profundidade de 5 metros. A carga hidráulica não se mantém constante, ou seja, o nível da água vai diminuindo conforme o reservatório esvazia pelo orifício. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo leva para o reservatório esvaziar completamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Torricelli, que nos diz a velocidade com que a água sai pelo orifício. A fórmula é:
Onde:
é a velocidade da água saindo pelo orifício,
é a aceleração da gravidade (),
é a altura da coluna de água acima do orifício (no caso, 5 metros inicialmente).
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do orifício. Como o orifício é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
Substituindo o diâmetro :
Passo 4
A taxa de saída de água () é igual à área do orifício vezes a velocidade da água:
Como o volume do reservatório é a área de fundo vezes a altura da água (), podemos relacionar isso com a variação da altura:
O sinal negativo indica que a altura está diminuindo.
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar a equação:
Integrando ambos os lados, de a e de a :
Calculando a integral:
2(0) - 2raiz5 = -AorifícioA raiz2g , T í
-2raiz5 = -AorifícioA raiz2g , T í
Simplificando:
T = 2raiz5(AorifícioA) raiz2g í
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos:
A = 2 , m^2, Aorifício approx 0,002827 , m^2, g = 9,81 , m/s^2 í
Calculando AorifícioAí:
0,0028272 approx 0,001414
Agora, substituindo na equação do tempo:
T = 2 times 2,2360,001414 times raiz2 times 9,81 approx 4,4720,001414 times 4,43 approx 4,4720,00627 approx 714 , segundos
Convertendo para minutos:
714 , segundos div 60 approx 11,9 , minutos
Resposta
O tempo de esvaziamento do reservatório é de aproximadamente 11,9 minutos.