Um reservatório com área de fundo de 2 m^2, possui um orifício de parede delgada de 6 cm de diâmetro localizado a uma profundidade de 5 m .
Caso a carga hidráulica não seja mantida constante, ou seja, o reservatório seja esvaziado pelo orifício, qual será o tempo de esvaziamento do reservatório?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um reservatório com uma área de fundo de 2 , m^2 e um orifício na parede com diâmetro de 6 cm (ou 0,06 m) localizado a uma profundidade de 5 metros. A carga hidráulica não se mantém constante, ou seja, o nível da água vai diminuindo conforme o reservatório esvazia pelo orifício. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo leva para o reservatório esvaziar completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Torricelli, que nos diz a velocidade com que a água sai pelo orifício. A fórmula é:
v = raiz2gh
Onde:
  • v é a velocidade da água saindo pelo orifício,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2),
  • h é a altura da coluna de água acima do orifício (no caso, 5 metros inicialmente).

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do orifício. Como o orifício é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
Aorifício = pi (d2)^2 í
Substituindo o diâmetro d = 0,06 , m:
Aorifício = pi (0,062)^2 = pi times 0,0009 approx 0,002827 , m^2 í

Passo 4

A taxa de saída de água ( dVdt) é igual à área do orifício vezes a velocidade da água:
dVdt = Aorifício times v = Aorifício times raiz2gh íí
Como o volume V do reservatório é a área de fundo vezes a altura da água ( V = A times h), podemos relacionar isso com a variação da altura:
dVdt = A times dhdt = -Aorifício times raiz2gh í
O sinal negativo indica que a altura está diminuindo.

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar a equação:
dhraizh = -AorifícioA raiz2g , dt í
Integrando ambos os lados, de h = 5 , m a h = 0 , m e de t = 0 a t = T:
integral5^0 dhraizh = -AorifícioA raiz2g integral0^T dt í
Calculando a integral:
2raizh |5^0 = -AorifícioA raiz2g , T í
2(0) - 2raiz5 = -AorifícioA raiz2g , T í
-2raiz5 = -AorifícioA raiz2g , T í
Simplificando:
T = 2raiz5(AorifícioA) raiz2g í

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos:
A = 2 , m^2, Aorifício approx 0,002827 , m^2, g = 9,81 , m/s^2 í
Calculando AorifícioAí:
0,0028272 approx 0,001414
Agora, substituindo na equação do tempo:
T = 2 times 2,2360,001414 times raiz2 times 9,81 approx 4,4720,001414 times 4,43 approx 4,4720,00627 approx 714 , segundos
Convertendo para minutos:
714 , segundos div 60 approx 11,9 , minutos

Resposta

O tempo de esvaziamento do reservatório é de aproximadamente 11,9 minutos.

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