Um reservatório contém água (massa específica 998 kg / m^3 ) até 0,5 m de altura e, sobre a água, despejou-se acidentalmente uma camada de óleo de densidade 0,6 g / cm^3, com 20 cm de altura. Abre-se um pequeno orifício na base do reservatório. A pressão no lado de fora do reservatório e acima da camada de óleo é igual à pressão atmosférica. Qual é a velocidade de escoamento da água? (Considere a área transversal do reservatório muito maior do que a área do orifício)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um reservatório que contém duas camadas de líquidos: água e óleo. A água tem uma densidade de e está presente até uma altura de . Em cima da água, foi derramado óleo acidentalmente, com densidade de (que vamos converter para kg/m³) e uma altura de ( ). Quando abrimos um orifício na base do reservatório, queremos descobrir qual a velocidade com que a água vai sair por esse orifício. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidroestática e a fórmula de Torricelli para velocidade de escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a densidade do óleo para unidades compatíveis com a água. Sabemos que:
0,6 , g/cm^3 = 600 , kg/m^3
Então, a densidade do óleo é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a pressão total no orifício na base do reservatório. A pressão nesse ponto é causada pelas duas camadas de líquidos acima: o óleo e a água. A pressão hidroestática é dada por:
P = rho g h
onde:
  • é a densidade do líquido,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura da coluna de líquido.

Passo 4

Vamos calcular a pressão causada pela camada de óleo:
Pó<=o = rhoó<=o cdot g cdot hó<=o = 600 , kg/m^3 cdot 9,81 , m/s^2 cdot 0,2 , m = 1177,2 , Pa óóó

Passo 5

Agora, calculamos a pressão causada pela camada de água:
Págua = rhoágua cdot g cdot hágua = 998 , kg/m^3 cdot 9,81 , m/s^2 cdot 0,5 , m = 4891,9 , Pa ááá

Passo 6

A pressão total no orifício é a soma das pressões causadas pelo óleo e pela água:
Ptotal = Pó<=o + Págua = 1177,2 , Pa + 4891,9 , Pa = 6069,1 , Pa óá

Passo 7

Agora, usamos a Equação de Torricelli para encontrar a velocidade de escoamento ( v = raiz2 cdot Ptotalrhoágua ) da água pelo orifício. A fórmula de Torricelli é:
á
Essa equação relaciona a velocidade do fluido com a pressão que o impulsiona e a densidade do fluido.

Passo 8

Substituindo os valores que já calculamos na fórmula:
v = raiz2 cdot 6069,1 , Pa998 , kg/m^3 = raiz12138,2998 approx raiz12,158 approx 3,49 , m/s

Resposta

A velocidade de escoamento da água pelo orifício é aproximadamente .

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