Um reservatório esférico de polipropileno ( k=0,25 W / m K ) de 8 m de diâmetro interno e 15 cm de espessura é usado para armazenar água com gelo a 0^circ C. O reservatório está situado em uma sala cuja temperatura é 25^circ C. Os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa do tanque são 60 W /(m^2 K) e 10 W /(m^2 K), respectivamente. (Desconsidere os efeitos da transferência de calor por radiação) Determine a quantidade de gelo que derrete durante o período de 1 hora. Considere que o calor

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um reservatório esférico de polipropileno que está armazenando água com gelo a 0°C. Esse reservatório está colocado em uma sala a 25°C. Queremos descobrir quanto gelo vai derreter em 1 hora devido à transferência de calor entre o ambiente e o gelo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as propriedades do reservatório e as condições dadas:
  • Diâmetro interno: 8 m, então o raio interno (r_i) é 4 m.
  • Espessura: 15 cm (0,15 m), então o raio externo (r_o) é 4 m + 0,15 m = 4,15 m.
  • Condutividade térmica do polipropileno (k): 0,25 W/(m·K).
  • Temperaturas:
    • Interna (T_i): 0°C
    • Externa (T_o): 25°C
  • Coeficientes de transferência de calor por convecção:
    • Interna (h_i): 60 W/(m²·K)
    • Externa (h_o): 10 W/(m²·K)
  • Tempo (t): 1 hora = 3600 segundos.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das superfícies interna e externa do reservatório, pois elas são necessárias para determinar a resistência térmica por convecção.
A área de uma esfera é dada por A = 4πr².
  • Área interna (A_i):
    Ai = 4πri² = 4π(4)^2 = 4π(16) = 64π , m² ²²
  • Área externa (A_o):
    Ao = 4πro² = 4π(4,15)^2 = 4π(17,2225) approx 68,89π , m² ²²

Passo 4

Agora, vamos calcular as resistências térmicas para cada modo de transferência de calor:
  1. Resistência por convecção interna (R_ci):
    Rci = 1hi Ai = 160 times 64π approx 112096π , K/W
  2. Resistência por condução através do reservatório (R_cond):
    Para condução em uma esfera, a resistência é:
    Rcond = ln(ro / ri)4πk = ln(4,15 / 4)4π times 0,25
    Calculando o logaritmo natural:
    ln(1,0375) approx 0,0369
    Então:
    Rcond = 0,0369π approx 0,0117 , K/W
  3. Resistência por convecção externa (R_co):
    Rco = 1ho Ao = 110 times 68,89π approx 1688,9π , K/W

Passo 5

Vamos somar todas as resistências para obter a resistência térmica total (R_total):
Rtotal = Rci + Rcond + Rco
Substituindo os valores calculados:
Rtotal approx 112096π + 0,0117 + 1688,9π
Calculando isso, considerando π ≈ 3,1416:
Rci approx 112096 times 3,1416 approx 2,62 times 10^-5 , K/W
Rco approx 1688,9 times 3,1416 approx 4,63 times 10^-4 , K/W
Então:
Rtotal approx 2,62 times 10^-5 + 0,0117 + 4,63 times 10^-4 approx 0,0120 , K/W

Passo 6

Com a resistência térmica total, podemos calcular a taxa de transferência de calor (Q/t):
dotQ = De
Agora, para encontrar a quantidade total de calor transferido em 1 hora (3600 s):
Q = dotQ times t = 2083,33 times 3600 approx 7,5 times 10^6 , J

Passo 7

Finalmente, vamos determinar a massa de gelo derretido usando a relação entre o calor e a massa:
Q = m times Lf
Onde m = QLf = 7,5 times 10^6334 times 10^3 approx 22,46 , kg é o calor latente de fusão do gelo, aproximadamente .
Reorganizando para encontrar :

Resposta

Aproximadamente 22,5 kg de gelo derretem durante o período de 1 hora.

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