Um reservatório esférico de polipropileno (
) de 8 m de diâmetro interno e 15 cm de espessura é usado para armazenar água com gelo a
. O reservatório está situado em uma sala cuja temperatura é
. Os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa do tanque são
e
, respectivamente. (Desconsidere os efeitos da transferência de calor por radiação) Determine a quantidade de gelo que derrete durante o período de 1 hora. Considere que o calor
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um reservatório esférico de polipropileno que está armazenando água com gelo a 0°C. Esse reservatório está colocado em uma sala a 25°C. Queremos descobrir quanto gelo vai derreter em 1 hora devido à transferência de calor entre o ambiente e o gelo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as propriedades do reservatório e as condições dadas:
- Diâmetro interno: 8 m, então o raio interno (r_i) é 4 m.
- Espessura: 15 cm (0,15 m), então o raio externo (r_o) é 4 m + 0,15 m = 4,15 m.
- Condutividade térmica do polipropileno (k): 0,25 W/(m·K).
- Temperaturas:
- Interna (T_i): 0°C
- Externa (T_o): 25°C
- Coeficientes de transferência de calor por convecção:
- Interna (h_i): 60 W/(m²·K)
- Externa (h_o): 10 W/(m²·K)
- Tempo (t): 1 hora = 3600 segundos.
Passo 3
Vamos calcular as áreas das superfícies interna e externa do reservatório, pois elas são necessárias para determinar a resistência térmica por convecção.
A área de uma esfera é dada por A = 4πr².
-
Área interna (A_i):
-
Área externa (A_o):
Passo 4
Agora, vamos calcular as resistências térmicas para cada modo de transferência de calor:
-
Resistência por convecção interna (R_ci):
-
Resistência por condução através do reservatório (R_cond):
Para condução em uma esfera, a resistência é:Calculando o logaritmo natural:Então: -
Resistência por convecção externa (R_co):
Passo 5
Vamos somar todas as resistências para obter a resistência térmica total (R_total):
Substituindo os valores calculados:
Calculando isso, considerando π ≈ 3,1416:
Então:
Passo 6
Com a resistência térmica total, podemos calcular a taxa de transferência de calor (Q/t):
Agora, para encontrar a quantidade total de calor transferido em 1 hora (3600 s):
Passo 7
Finalmente, vamos determinar a massa de gelo derretido usando a relação entre o calor e a massa:
Onde
é o calor latente de fusão do gelo, aproximadamente
.
Reorganizando para encontrar
:
Resposta
Aproximadamente 22,5 kg de gelo derretem durante o período de 1 hora.