Um resistor de 15,2 k Omega e um capacitor são conectados em série e um potencial de 13 V é aplicado repentinamente. O potencial entre os terminais do capacitor aumenta para 5 V em 1,28 mu s. (b) Encontre a capacitância do capacitor. OBS: q(t)=E C(1-e^-t / R C)(2,0 pontos)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos um circuito com um resistor de e um capacitor conectados em série. Quando aplicamos uma tensão de 13 V, a tensão no capacitor aumenta para 5 V em . Nosso objetivo aqui é encontrar a capacitância desse capacitor.
Para resolver isso, vamos usar a teoria de circuitos RC (Resistor-Capacitor), que nos ajuda a entender como a tensão no capacitor muda com o tempo quando uma tensão é aplicada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que descreve como a carga no capacitor q(t) = E C (1 - e^-t / (RC)) varia com o tempo em um circuito RC:
Aqui:
  • é a tensão aplicada (13 V),
  • é a capacitância que queremos encontrar,
  • é a resistência (15,2 kΩ),
  • é o tempo (1,28 μs),
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Sabemos que a tensão no capacitor VC(t) = q(t)C está relacionada à carga VC(t) = E (1 - e^-t / (RC)) pela relação:
Substituindo a expressão de na equação acima, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na equação:
5, V = 13, V (1 - e^-1,28 times 10^-6, s / (15.200, Omega times C))
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 5

Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por 13 V:
513 = 1 - e^-1,28 times 10^-6, s / (15.200, Omega times C)
Calculando 0,3846 approx 1 - e^-1,28 times 10^-6, s / (15.200, Omega times C) :

Passo 6

Isolando a exponencial:
e^-1,28 times 10^-6, s / (15.200, Omega times C) = 1 - 0,3846 = 0,6154

Passo 7

Agora, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para - 1,28 times 10^-615.200 times C = ln(0,6154) :
- 1,28 times 10^-615.200 times C approx -0,486
Calculando :

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por -1:
1,28 times 10^-615.200 times C approx 0,486

Passo 9

Isolando C = 1,28 times 10^-615.200 times 0,486 :

Passo 10

Calculando os valores:
C = 1,28 times 10^-67,372 approx 1,737 times 10^-7, F

Resposta

A capacitância do capacitor é aproximadamente ou .

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