Resoloa o PVI: cos^2(x) * sen(x) * d/dx(y) + (cos^3(x)) * y = 1, y(pi/4) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
Aqui, a matéria que estamos trabalhando é equações diferenciais de primeira ordem, especialmente as equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por :
Simplificando os termos:
Agora, temos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que nos ajuda a resolver a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Então, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:

Passo 6

Agora, isolamos na equação:
Sabemos que , então:

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar a constante . Temos que :
Sabendo que e :

Passo 8

Substituímos o valor de de volta na expressão de :

Resposta

A solução do PVI é:

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