Resoloa o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
Aqui, a matéria que estamos trabalhando é equações diferenciais de primeira ordem, especialmente as equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por
:
Simplificando os termos:
Agora, temos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que nos ajuda a resolver a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Então, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, isolamos
na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Temos que
:
Sabendo que
e
:
Passo 8
Substituímos o valor de
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Usando o teste de D (f)
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
Usando o teste de D (k)
Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d)
(d)