Usando o teste de D (f) sumn=1^infty n!2^n(2+n)!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=1^infty n!2^n(2+n)!
O objetivo é determinar se essa série converge ou não usando o teste de D’Alembert, também conhecido como o teste da razão. Para resolver isso, precisamos entender como aplicar esse teste e calcular o limite necessário.

Passo 2

O teste de D’Alembert nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = n!2^n(2+n)! para a nossa série:
an+1 = (n+1)!2^n+1(2+n+1)! = (n+1)!2^n+1(3+n)!
Precisamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos a razão an+1an = (n+1)!2^n+1(3+n)! times 2^n(2+n)!n! = (n+1) times 2^n times (2+n)!2^n+1 times (3+n)! times n! :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
an+1an = (n+1)2 times (2+n)!(3+n)!
Sabemos que (2+n)!(3+n)! = 13+n , então:
an+1an = (n+1)2(3+n)
Portanto:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando L = limn to infty n+12(n+3) = limn to infty n2n = 12 tende ao infinito:

Passo 7

Como , de acordo com o teste de D’Alembert, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste de D’Alembert, já que o limite .

Exercícios relacionados

Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
(4 x^3 - 6 x y^2) dx + (4 y^3 - 6 x y) dy = 0
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
® sumn=1^infty n+ln nn^3+1
Resoloa o PVI: cos^2(x) * sen(x) * d/dx(y) + (cos^3(x)) * y = 1, y(pi/4) = 0
Usando o teste de D (k) sumn=1^infty 3^nn^2+2