Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge ou não usando o teste de D’Alembert, também conhecido como o teste da razão. Para resolver isso, precisamos entender como aplicar esse teste e calcular o limite necessário.
Passo 2
O teste de D’Alembert nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos identificar an = n!2^n(2+n)! para a nossa série:
an+1 = (n+1)!2^n+1(2+n+1)! = (n+1)!2^n+1(3+n)!
Precisamos calcular :
Passo 4
Agora, calculamos a razão an+1an = (n+1)!2^n+1(3+n)! times 2^n(2+n)!n! = (n+1) times 2^n times (2+n)!2^n+1 times (3+n)! times n! :
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
an+1an = (n+1)2 times (2+n)!(3+n)!
Sabemos que (2+n)!(3+n)! = 13+n , então:
an+1an = (n+1)2(3+n)
Portanto:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite quando L = limn to infty n+12(n+3) = limn to infty n2n = 12 tende ao infinito:
Passo 7
Como , de acordo com o teste de D’Alembert, a série converge.
Resposta
A série converge pelo teste de D’Alembert, já que o limite .