Resolva, analiticamente o PVI abaixo, e implemente a sua solução numérica com o comando ode45 para os 5 primeiros segundos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação de forma analítica, ou seja, encontrar uma expressão matemática para
, e depois usar o comando
ode45
para resolver numericamente nos primeiros 5 segundos. Para isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares, características das soluções homogêneas e condições iniciais.Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente busca uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, teremos soluções complexas.
Passo 5
As raízes são:
Então, a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais:
Primeiro, calculando
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
. A derivada de
é:
Simplificando em
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
e
, a solução particular fica:
Passo 9
Para a parte numérica, vamos usar o comando
ode45
do MATLAB para resolver a equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação de segunda ordem como um sistema de primeira ordem:Agora, vamos implementar isso no MATLAB:
function pvi_solver
% Condições iniciais
x0 = [2; 3];
% Intervalo de tempo
tspan = [0 5];
% Resolver usando ode45
[t, x] = ode45(@dynamics, tspan, x0);
% Plotar a solução
plot(t, x(:,1))
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('x(t)')
title('Solução Numérica de x''\' + x'' + (65/4)x = 0')
grid on
end
function dxdt = dynamics(t, x)
dxdt = [x(2); -x(2) - (65/4)*x(1)];
end
Resposta
A solução analítica do PVI é:
E a implementação numérica usando
ode45
está conforme o código apresentado acima, que resolve a equação nos primeiros 5 segundos.