Resolva, analiticamente o PVI abaixo, e implemente a sua solução numérica com o comando ode45 para os 5 primeiros segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação de forma analítica, ou seja, encontrar uma expressão matemática para , e depois usar o comando `ode45` para resolver numericamente nos primeiros 5 segundos. Para isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares, características das soluções homogêneas e condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que temos: Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente busca uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação, temos: Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara: Aqui, , e . Calculando o discriminante: Como o discriminante é negativo, teremos soluções complexas.

Passo 5

As raízes são: Então, a solução geral da equação é: onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais: Primeiro, calculando : Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar . A derivada de é: Simplificando em : Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos e , a solução particular fica:

Passo 9

Para a parte numérica, vamos usar o comando `ode45` do MATLAB para resolver a equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação de segunda ordem como um sistema de primeira ordem: Agora, vamos implementar isso no MATLAB: ```matlab function pvi_solver % Condições iniciais x0 = [2; 3]; % Intervalo de tempo tspan = [0 5]; % Resolver usando ode45 [t, x] = ode45(@dynamics, tspan, x0); % Plotar a solução plot(t, x(:,1)) xlabel('Tempo (s)') ylabel('x(t)') title('Solução Numérica de x''\' + x'' + (65/4)x = 0') grid on end function dxdt = dynamics(t, x) dxdt = [x(2); -x(2) - (65/4)*x(1)]; end ```

Resposta

A solução analítica do PVI é: E a implementação numérica usando `ode45` está conforme o código apresentado acima, que resolve a equação nos primeiros 5 segundos.

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