Resolva, analiticamente o PVI abaixo, e implemente a sua solução numérica com o comando ode45 para os 5 primeiros segundos.
x^prime prime+x^prime+65 x4=0 x(0)=2 ; x^prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação de forma analítica, ou seja, encontrar uma expressão matemática para , e depois usar o comando ode45 para resolver numericamente nos primeiros 5 segundos. Para isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares, características das soluções homogêneas e condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que temos:
x'' + x' + 654x = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente busca uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo r^2 e^rt + r e^rt + 654 e^rt = 0 na equação, temos:
r^2 + r + 654 = 0
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usando a fórmula de Bhaskara:
De
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, teremos soluções complexas.

Passo 5

As raízes são:
r = -1 pm raiz-642 = -1 pm 8i2 = -12 pm 4i
Então, a solução geral da equação é:
x(t) = e^-12t ( C1 cos(4t) + C2 sin(4t) )
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais:
x(0) = 2 x'(0) = 3
Primeiro, calculando x(0) = e^0 (C1 cos(0) + C2 sin(0)) = C1 = 2 :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar x'(t) = -12 e^-12t (2 cos(4t) + C2 sin(4t)) + e^-12t (-8 sin(4t) + 4 C2 cos(4t)) . A derivada de x'(0) = -12 cdot 2 + 4 C2 = -1 + 4 C2 = 3 é:
4 C2 = 4 C2 = 1
Simplificando em :
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos x(t) = e^-12t ( 2 cos(4t) + sin(4t) ) e , a solução particular fica:

Passo 9

Para a parte numérica, vamos usar o comando ode45 do MATLAB para resolver a equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação de segunda ordem como um sistema de primeira ordem:
x1' = x2 x2' = -x2 - 654x1
Agora, vamos implementar isso no MATLAB:
function pvi_solver
    % Condições iniciais
    x0 = [2; 3];
    % Intervalo de tempo
    tspan = [0 5];
    % Resolver usando ode45
    [t, x] = ode45(@dynamics, tspan, x0);
    % Plotar a solução
    plot(t, x(:,1))
    xlabel('Tempo (s)')
    ylabel('x(t)')
    title('Solução Numérica de x''\' + x'' + (65/4)x = 0')
    grid on
end

function dxdt = dynamics(t, x)
    dxdt = [x(2); -x(2) - (65/4)*x(1)];
end

Resposta

A solução analítica do PVI é:
x(t) = e^-12t ( 2 cos(4t) + sin(4t) )
E a implementação numérica usando ode45 está conforme o código apresentado acima, que resolve a equação nos primeiros 5 segundos.

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