Plote, em uma mesma janela, as soluções numérica e analítica para o PVI abaixo, usando o comando ode45.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer plotar, na mesma janela, as soluções numérica e analítica de um Problema de Valor Inicial (PVI) usando o comando ode45 no MATLAB. O conteúdo aqui envolve resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de terceira ordem. Para isso, vamos precisar entender como converter a EDO de terceira ordem para um sistema de primeira ordem, usar o ode45 para obter a solução numérica e, por fim, plotar ambas as soluções juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial que você tem:
Com as condições iniciais:
E a solução analítica dada:

Passo 3

Como o MATLAB trabalha melhor com EDOs de primeira ordem, vamos converter a nossa equação de terceira ordem em um sistema de equações de primeira ordem. Para isso, definimos variáveis auxiliares:
Assim, a nossa EDO original fica:
Que pode ser reescrita como:
Então, o sistema de primeira ordem é:

Passo 4

Vamos implementar isso no MATLAB. Primeiro, definimos uma função que representa o sistema de EDOs. Em seguida, usamos o ode45 para resolver numericamente. Também definimos a solução analítica para comparar.
Aqui está um exemplo de como fazer isso:
% Definindo o sistema de EDOs
function dydt = sistema(t, y)
    dydt = zeros(3,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = y(3);
    dydt(3) = t - 6*y(3) - 11*y(2) - 6*y(1);
end

% Condições iniciais
y0 = [0; 0; 1];

% Intervalo de tempo
tspan = [0 5];

% Resolvendo numericamente com ode45
[tsol, ysol] = ode45(@sistema, tspan, y0);

% Solução analítica
y_analitica = (tsol)/6 + (5/9)*exp(-3*tsol) - (5/4)*exp(-2*tsol) + exp(-tsol) - 11/36;

% Plotando as soluções
figure;
plot(tsol, ysol(:,1), 'b-', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(tsol, y_analitica, 'r--', 'LineWidth', 2);
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
title('Soluções Numérica e Analítica');
legend('Numérica (ode45)', 'Analítica');
grid on;

Passo 5

Vamos entender o que cada parte do código faz:
  1. Definição do Sistema de EDOs: Criamos uma função sistema que retorna as derivadas de cada variável. Isso é necessário para o ode45 saber como resolver o sistema.
  2. Condições Iniciais: y0 = [0; 0; 1] corresponde a , , e .
  3. Intervalo de Tempo: Definimos tspan = [0 5] como o intervalo de tempo para a solução. Você pode ajustar conforme necessário.
  4. Resolução Numérica: Usamos [tsol, ysol] = ode45(@sistema, tspan, y0) para obter a solução numérica do sistema.
  5. Solução Analítica: Calculamos a solução analítica usando a expressão dada, substituindo tsol por t.
  6. Plotagem: Plotamos ambas as soluções no mesmo gráfico para comparar. ysol(:,1) é a solução numérica para , e y_analitica é a solução analítica. Usamos cores e estilos de linha diferentes para distinguir.

Resposta

Seguindo os passos acima, você conseguirá plotar, no MATLAB, as soluções numérica e analítica do PVI na mesma janela. O gráfico mostrará como as duas soluções se comportam ao longo do tempo, permitindo comparar a precisão do método numérico ode45 com a solução exata.

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