A plique a técnica dos pequenos ângulos para transformar a EDO não linear em uma EDO linear. Resolva analiticamente a EDO linear para as condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) que é não linear, provavelmente relacionada a um pêndulo ou algo parecido. O conteúdo aqui envolve técnicas de aproximação, especificamente a técnica dos pequenos ângulos, que ajuda a simplificar a equação transformando-a em uma EDO linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa aproximação e depois resolver a EDO linear resultante usando as condições iniciais fornecidas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na EDO original. Normalmente, para um pêndulo, a equação é algo como:
Aqui,
é a aceleração angular,
é a gravidade e
é o comprimento do pêndulo. O termo
torna a equação não linear.
Passo 3
A técnica dos pequenos ângulos vem aí para salvar o dia! Quando os ângulos são pequenos, podemos usar a aproximação:
Isso simplifica bastante as coisas porque agora a equação fica linear.
Passo 4
Substituindo a aproximação na EDO original, temos:
Agora, essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela se parece muito com a equação de um oscilador harmônico simples.
Passo 5
Vamos resolver essa EDO linear. A equação geral para um oscilador harmônico é:
onde
. A solução geral dessa equação é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando as condições iniciais. Primeiro, quando
:
Então,
.
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando a condição
:
Então,
Passo 7
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A solução da EDO linear, considerando as condições iniciais, é:
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e