A plique a técnica dos pequenos ângulos para transformar a EDO não linear em uma EDO linear. Resolva analiticamente a EDO linear para as condições iniciais theta(0)=theta0 e dottheta(0)=d theta0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) que é não linear, provavelmente relacionada a um pêndulo ou algo parecido. O conteúdo aqui envolve técnicas de aproximação, especificamente a técnica dos pequenos ângulos, que ajuda a simplificar a equação transformando-a em uma EDO linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa aproximação e depois resolver a EDO linear resultante usando as condições iniciais fornecidas: theta(0) = theta0 e dottheta(0) = d theta0.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na EDO original. Normalmente, para um pêndulo, a equação é algo como:
ddottheta + gl sin(theta) = 0
Aqui, ddottheta é a aceleração angular, g é a gravidade e l é o comprimento do pêndulo. O termo sin(theta) torna a equação não linear.

Passo 3

A técnica dos pequenos ângulos vem aí para salvar o dia! Quando os ângulos são pequenos, podemos usar a aproximação:
sin(theta) approx theta
Isso simplifica bastante as coisas porque agora a equação fica linear.

Passo 4

Substituindo a aproximação na EDO original, temos:
ddottheta + gl theta = 0
Agora, essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela se parece muito com a equação de um oscilador harmônico simples.

Passo 5

Vamos resolver essa EDO linear. A equação geral para um oscilador harmônico é:
ddottheta + omega^2 theta = 0
onde omega = raizgl. A solução geral dessa equação é:
theta(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando as condições iniciais. Primeiro, quando t = 0:
theta(0) = A cos(0) + B sin(0) Rightarrow theta0 = A
Então, A = theta0.
Agora, derivamos theta(t) para encontrar dottheta(t):
dottheta(t) = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
Aplicando a condição dottheta(0) = d theta0:
dottheta(0) = -A omega sin(0) + B omega cos(0) Rightarrow d theta0 = B omega
Então, B = d theta0omega = d theta0raizgl = d theta0 raizlg

Passo 7

Agora que temos A e B, substituímos de volta na solução geral:
theta(t) = theta0 cos(raizgl, t) + (d theta0 raizlg) sin(raizgl, t)

Resposta

A solução da EDO linear, considerando as condições iniciais, é:
theta(t) = theta0 cos(raizgl, t) + d theta0 raizlg sin(raizgl, t)

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