A plique a técnica dos pequenos ângulos para transformar a EDO não linear em uma EDO linear. Resolva analiticamente a EDO linear para as condições iniciais e .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) que é não linear, provavelmente relacionada a um pêndulo ou algo parecido. O conteúdo aqui envolve técnicas de aproximação, especificamente a técnica dos pequenos ângulos, que ajuda a simplificar a equação transformando-a em uma EDO linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa aproximação e depois resolver a EDO linear resultante usando as condições iniciais fornecidas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na EDO original. Normalmente, para um pêndulo, a equação é algo como:
Aqui, é a aceleração angular, é a gravidade e é o comprimento do pêndulo. O termo torna a equação não linear.

Passo 3

A técnica dos pequenos ângulos vem aí para salvar o dia! Quando os ângulos são pequenos, podemos usar a aproximação:
Isso simplifica bastante as coisas porque agora a equação fica linear.

Passo 4

Substituindo a aproximação na EDO original, temos:
Agora, essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela se parece muito com a equação de um oscilador harmônico simples.

Passo 5

Vamos resolver essa EDO linear. A equação geral para um oscilador harmônico é:
onde . A solução geral dessa equação é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando as condições iniciais. Primeiro, quando :
Então, .
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando a condição :
Então,

Passo 7

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução da EDO linear, considerando as condições iniciais, é:

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e