Usando métodos de cálculo de zeros de funções, calcule os seguintes valores com a precisão solicitada.
  • x=raiz[3]4, epsilon=10^-3

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular com uma precisão de . Para resolver isso, vamos usar um método de cálculo de zeros de funções, especificamente o método de Newton-Raphson. Isso significa que vamos encontrar a raiz da função com a precisão indicada.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual função estamos trabalhando. Queremos encontrar tal que , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz .

Passo 3

Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar as raízes de uma função. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = 3x^2 é a derivada de . Para nossa função , a derivada é:

Passo 4

Precisamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Vamos escolher porque sabemos que e , então a raiz está entre 1.5 e 2.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1.5 - 1.5^3 - 43 times 1.5^2 = 1.5 - 3.375 - 46.75 = 1.5 - ( -0.6256.75 ) approx 1.5 + 0.0926 = 1.5926

Passo 6

Verificamos a precisão:
|x1 - x0| = |1.5926 - 1.5| = 0.0926 > 0.001
Como ainda não atingimos a precisão desejada, repetimos o processo com x2 = 1.5926 - 1.5926^3 - 43 times 1.5926^2 approx 1.5926 - 4.0131 - 47.5962 approx 1.5926 - 0.01317.5962 approx 1.5926 - 0.0017 = 1.5909 :

Passo 7

Verificamos novamente a precisão:
|x2 - x1| = |1.5909 - 1.5926| = 0.0017 > 0.001
Ainda não estamos dentro da precisão, então iteramos mais uma vez com x3 = 1.5909 - 1.5909^3 - 43 times 1.5909^2 approx 1.5909 - 4.0001 - 47.5681 approx 1.5909 - 0.00017.5681 approx 1.5909 - 0.0000 = 1.5909 :

Resposta

Com as iterações realizadas, concluímos que com uma precisão de .

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