Resolva as EDO59)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições e integração. Vamos simplificar a equação passo a passo para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é
. Além disso, sabemos que:
Mas para tornar as coisas mais simples, vamos expressar
em termos de
e
. Usando a regra da cadeia:
Então, substituímos na equação original:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir toda a equação por
(desde que
):
Isso nos dá uma Equação Diferencial de Primeira Ordem mais simples.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, separamos as variáveis:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação:
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis para integrar novamente:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes de integração.