Resolva as EDO59) y'' + 2y (y')^3 = 0 ; y'' = du/dy u ; y' = u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições e integração. Vamos simplificar a equação passo a passo para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Isso significa que a derivada de em relação a é . Além disso, sabemos que:
Mas para tornar as coisas mais simples, vamos expressar em termos de e . Usando a regra da cadeia:
Então, substituímos na equação original:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir toda a equação por (desde que ):
Isso nos dá uma Equação Diferencial de Primeira Ordem mais simples.

Passo 4

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Agora, separamos as variáveis:

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação:
Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para :
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, separamos as variáveis para integrar novamente:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes de integração.

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