Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . Estamos lidando com equações diferenciais lineares, e para resolver isso, vamos precisar conhecer os métodos para encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é .
Passo 3
Resolvendo a equação característica , temos:
Então, temos uma raiz dupla .
Passo 4
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos usar o método de variação de parâmetros.
Passo 6
Para aplicar a variação de par��metros, precisamos das soluções da equação homogênea:
Calculamos o Wronskiano :
Passo 7
As fórmulas para e são:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: