Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . Estamos lidando com equações diferenciais lineares, e para resolver isso, vamos precisar conhecer os métodos para encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , temos:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos usar o método de variação de parâmetros.

Passo 6

Para aplicar a variação de par��metros, precisamos das soluções da equação homogênea:
Calculamos o Wronskiano :

Passo 7

As fórmulas para e são:

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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