Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem:
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, especificamente das lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral da equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é mais simples e nos ajuda a entender a estrutura da solução geral.
Passo 3
Para resolver
, assumimos uma solução da forma
. Derivando, temos
e
. Substituindo na equação homogênea:
Como
, temos
.
Passo 4
Resolvendo
, encontramos raízes complexas:
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Como o termo do lado direito é
, que já está presente na solução homogênea, vamos usar um multiplicador de
para a forma da solução particular. Vamos tentar:
Passo 6
Derivando
:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original
:
Simplificando, os termos com
se cancelam:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos
e
:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.