Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir. y'' + y = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem: . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, especificamente das lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral da equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é mais simples e nos ajuda a entender a estrutura da solução geral.

Passo 3

Para resolver , assumimos uma solução da forma . Derivando, temos e . Substituindo na equação homogênea:
Como , temos .

Passo 4

Resolvendo , encontramos raízes complexas: . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o termo do lado direito é , que já está presente na solução homogênea, vamos usar um multiplicador de para a forma da solução particular. Vamos tentar:

Passo 6

Derivando :

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação original :
Simplificando, os termos com se cancelam:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos e :

Passo 9

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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