Resolva cada equação diferencial pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
usando o método de variação de parâmetros. Essa equação envolve derivadas de segunda ordem e funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, depois, achar uma solução particular para a parte não homogênea usando variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma
e encontra os valores de
.
Substituindo na equação homogênea:
Como
, temos
, então
.
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método de variação de parâmetros. Esse método é útil quando a parte não homogênea é uma combinação de funções que não são soluções da homogênea.
Primeiro, identificamos as funções não homogêneas:
e
. Vamos tratar cada uma separadamente e depois somar as soluções particulares.
Para
:
A gente sabe que a derivada de envolve
, o que pode complicar, mas vamos tentar uma solução particular da forma:
A gente sabe que a derivada de
onde
e
são funções a serem determinadas.
Calculamos o Wronskiano:
Usamos as fórmulas de variação de parâmetros:
Integrando
e
, encontramos
e
e, consequentemente,
.
Para
:
Aqui, a parte não homogênea é um polinômio de primeiro grau. Tentamos uma solução particular da forma:
Aqui, a parte não homogênea é um polinômio de primeiro grau. Tentamos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes, temos
e
. Então,
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde
é a soma das soluções particulares encontradas:
Substituindo
:
Onde
é a solução particular associada a
, encontrada pelo método de variação de parâmetros.
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