Resolva cada equação diferencial pelo método de variação de parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. Essa equação envolve derivadas de segunda ordem e funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, depois, achar uma solução particular para a parte não homogênea usando variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma e encontra os valores de .
Substituindo na equação homogênea:
Como , temos , então .
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. Esse método é útil quando a parte não homogênea é uma combinação de funções que não são soluções da homogênea.
Primeiro, identificamos as funções não homogêneas: e . Vamos tratar cada uma separadamente e depois somar as soluções particulares.
Para :
A gente sabe que a derivada de envolve , o que pode complicar, mas vamos tentar uma solução particular da forma:
onde e são funções a serem determinadas.
Calculamos o Wronskiano:
Usamos as fórmulas de variação de parâmetros:
Integrando e , encontramos e e, consequentemente, .
Para :
Aqui, a parte não homogênea é um polinômio de primeiro grau. Tentamos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes, temos e . Então,

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde é a soma das soluções particulares encontradas:
Substituindo :
Onde é a solução particular associada a , encontrada pelo método de variação de parâmetros.

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