Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é utilizado para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são combinações de funções polinomiais, exponenciais, senos e cossenos. Para resolver, precisamos encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, buscamos uma solução particular
para a equação completa:
Usando o método dos coeficientes indeterminados, assumimos uma forma para
. Como o lado direito é
, sugerimos:
No entanto, observamos que
e
já são soluções da equação homogênea. Para evitar a duplicação, multiplicamos por
:
Agora, derivamos
e substituímos na equação original para determinar os coeficientes
.
Passo 4
Após calcular as derivadas e substituir na equação diferencial, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes para resolver o sistema de equações resultante. Isso nos permitirá encontrar os valores de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, e
são coeficientes encontrados ao resolver o sistema resultante da substituição de
na equação original.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.
Resolva cada equação diferencial pelo método de variação de parâmetros.
Resolva cada equação diferencial pelo método de variação de parâmetros.