Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é utilizado para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são combinações de funções polinomiais, exponenciais, senos e cossenos. Para resolver, precisamos encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, buscamos uma solução particular para a equação completa:
Usando o método dos coeficientes indeterminados, assumimos uma forma para . Como o lado direito é , sugerimos:
No entanto, observamos que e já são soluções da equação homogênea. Para evitar a duplicação, multiplicamos por :
Agora, derivamos e substituímos na equação original para determinar os coeficientes .

Passo 4

Após calcular as derivadas e substituir na equação diferencial, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes para resolver o sistema de equações resultante. Isso nos permitirá encontrar os valores de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, e são coeficientes encontrados ao resolver o sistema resultante da substituição de na equação original.

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