Resolva cada equação diferencial pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método de variação de parâmetros. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos tentar simplificar o lado direito usando uma identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos procurar uma solução particular para cada termo do lado direito separadamente. Comecemos com
. Suponhamos que:
Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular para
. Mas atenção! Observamos que
já está na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por
para obter uma solução particular. Vamos supor:
Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Após simplificação e igualando os coeficientes, encontramos:
Então:
Passo 6
Finalmente, a solução particular total é a soma das duas soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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