Resolva cada equação diferencial pelo método de variação de parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos tentar simplificar o lado direito usando uma identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos procurar uma solução particular para cada termo do lado direito separadamente. Comecemos com . Suponhamos que:
Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular para . Mas atenção! Observamos que já está na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por para obter uma solução particular. Vamos supor:
Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Após simplificação e igualando os coeficientes, encontramos:
Então:

Passo 6

Finalmente, a solução particular total é a soma das duas soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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