Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. O conteúdo que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação (a parte não homogênea) é de uma forma que a gente consegue adivinhar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar com condições iniciais (se houver).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
A função do lado direito é a soma de e , então vamos encontrar uma solução particular para cada parte e somá-las depois.

Passo 4

Primeira parte:
Como o lado direito tem um termo polinomial de primeiro grau ( ), vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes a serem determinados.
Segunda parte:
Aqui, o termo já está presente na solução homogênea, então precisamos multiplicar por para evitar redundância. Então, vamos supor:
Onde e são outros coeficientes a serem encontrados.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de e e substituí-las na equação original para encontrar os coeficientes .
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação :
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Então,

Passo 6

Para :
Primeira derivada usando a regra do produto:
Segunda derivada:
Simplificando:
Agora, substituindo e na equação :
Comparando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
Então,

Passo 7

Com as soluções particulares encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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