Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. O conteúdo que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação (a parte não homogênea) é de uma forma que a gente consegue adivinhar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar com condições iniciais (se houver).
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular
da equação completa:
A função do lado direito é a soma de
e , então vamos encontrar uma solução particular para cada parte e somá-las depois.
Passo 4
Primeira parte:
Como o lado direito tem um termo polinomial de primeiro grau (
), vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Segunda parte:
Aqui, o termo já está presente na solução homogênea, então precisamos multiplicar por
para evitar redundância. Então, vamos supor:
Onde
e
são outros coeficientes a serem encontrados.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
e substituí-las na equação original para encontrar os coeficientes
.
Para
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação
:
Comparando os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Então,
Passo 6
Para :
Primeira derivada usando a regra do produto:
Segunda derivada:
Simplificando:
Agora, substituindo
e
na equação :
Comparando os coeficientes:
- Para :
- Para
:
Então,
Passo 7
Com as soluções particulares encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
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