Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
, onde
é uma função contínua em toda reta;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa usar o Teorema de Existência e Unicidade Local para verificar se a equação diferencial
com a condição inicial
tem uma solução única, pelo menos em algum intervalo próximo de
. Para isso, vamos precisar entender esse teorema e ver se as condições dele estão sendo atendidas nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial numa forma mais familiar. A gente quer isolar
. Então, temos:
Agora, essa equação está na forma padrão
, onde:
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade Local, precisamos verificar se a função
é contínua e se sua derivada parcial em relação a
,
, também é contínua em algum intervalo ao redor do ponto inicial.
Passo 3
Vamos analisar a continuidade de
. Sabemos que
é uma função contínua em toda a reta. A parte
também é contínua em
. Portanto,
é contínua em
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada é constante e, obviamente, contínua em todo o plano
.
Passo 5
Como
e
são contínuas em algum intervalo ao redor de
e
, o Teorema de Existência e Unicidade Local garante que existe uma solução única para a equação diferencial nesse intervalo.
Resposta
Sim, o problema possui solução única localmente.
Exercícios relacionados
Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
;
Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
, onde
é um polinômio qualquer e
.
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade: