Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local) , onde é uma função contínua em toda reta;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa usar o Teorema de Existência e Unicidade Local para verificar se a equação diferencial com a condição inicial tem uma solução única, pelo menos em algum intervalo próximo de . Para isso, vamos precisar entender esse teorema e ver se as condições dele estão sendo atendidas nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial numa forma mais familiar. A gente quer isolar . Então, temos:
Agora, essa equação está na forma padrão , onde:
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade Local, precisamos verificar se a função é contínua e se sua derivada parcial em relação a , , também é contínua em algum intervalo ao redor do ponto inicial.

Passo 3

Vamos analisar a continuidade de . Sabemos que é uma função contínua em toda a reta. A parte também é contínua em . Portanto, é contínua em e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada é constante e, obviamente, contínua em todo o plano .

Passo 5

Como e são contínuas em algum intervalo ao redor de e , o Teorema de Existência e Unicidade Local garante que existe uma solução única para a equação diferencial nesse intervalo.

Resposta

Sim, o problema possui solução única localmente.

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