Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Passo 1
Opa! Vamos resolver a equação diferencial
e descobrir em quais regiões do plano
o Teorema de Existência e Unicidade se aplica. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais e análise das condições necessárias para garantirmos que a solução existe e é única.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação
é uma equação diferencial separável porque conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Reescrevendo a equação:
Podemos multiplicar ambos os lados por
e
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Igualando as integrais, temos a solução implícita da equação diferencial:
Podemos multiplicar todos os termos por 3 para simplificar:
Para simplificação, podemos renomear
como
(a constante de integração ainda é arbitrária):
Passo 5
Agora, vamos verificar as condições do Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema requer que a função
seja contínua em uma região ao redor de um ponto
e que satisfaça uma condição de Lipschitz em relação a
.
Analisando
:
-
Continuidade: A função
é contínua para todos os valores de e porque o denominador nunca é zero (já que para todo ). -
Condição de Lipschitz: Para verificar a condição de Lipschitz, calculamos a derivada parcial de
em relação a :
Essa derivada é contínua em todo o plano
, o que implica que
satisfaz a condição de Lipschitz em
em toda a sua região de definição.
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
E as condições do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas para todos os pontos no plano
. Isso significa que, para qualquer condição inicial
, existe uma única solução que passa por esse ponto.
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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
;
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
e
.