Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:

Passo 1

Opa! Vamos resolver a equação diferencial e descobrir em quais regiões do plano o Teorema de Existência e Unicidade se aplica. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais e análise das condições necessárias para garantirmos que a solução existe e é única.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação é uma equação diferencial separável porque conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.
Reescrevendo a equação:
Podemos multiplicar ambos os lados por e para separar as variáveis:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Igualando as integrais, temos a solução implícita da equação diferencial:
Podemos multiplicar todos os termos por 3 para simplificar:
Para simplificação, podemos renomear como (a constante de integração ainda é arbitrária):

Passo 5

Agora, vamos verificar as condições do Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema requer que a função seja contínua em uma região ao redor de um ponto e que satisfaça uma condição de Lipschitz em relação a .
Analisando :
  1. Continuidade: A função é contínua para todos os valores de e porque o denominador nunca é zero (já que para todo ).
  2. Condição de Lipschitz: Para verificar a condição de Lipschitz, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada é contínua em todo o plano , o que implica que satisfaz a condição de Lipschitz em em toda a sua região de definição.

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
E as condições do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas para todos os pontos no plano . Isso significa que, para qualquer condição inicial , existe uma única solução que passa por esse ponto.

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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Encontre soluções para os problemas de valor inicial e , para ;
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. .
Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada. e .