Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial com um valor inicial. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), e mais especificamente, vamos trabalhar com uma EDO separável. Para isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e depois integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
Passo 3
Vamos isolar
na equação. Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Agora, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Simplificando, cancelamos
Passo 5
Nossa equação diferencial agora é:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
Passo 6
Vamos reorganizar para separar
e
:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
A integração de
Passo 8
Depois de integrar, temos:
Onde
Passo 9
Para resolver para
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 10
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Passo 11
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então:
Passo 12
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando os expoentes:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
e
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