Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial com um valor inicial. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), e mais especificamente, vamos trabalhar com uma EDO separável. Para isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:

Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos isolar na equação. Subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

Agora, dividimos ambos os lados por para resolver para :

Simplificando, cancelamos :

Passo 5

Nossa equação diferencial agora é:

Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 6

Vamos reorganizar para separar e :

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:

A integração de é , e a integração de é .

Passo 8

Depois de integrar, temos:

Onde é a constante de integração.

Passo 9

Para resolver para , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:

Isso pode ser reescrito como:

Passo 10

Podemos simplificar para uma nova constante :

Passo 11

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Então:

Passo 12

Substituindo na expressão de :

Simplificando os expoentes:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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