Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: temos a equação diferencial . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias (EDOs) e o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação e aplicar o teorema para identificar onde ele se aplica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar no formato padrão de EDOs, que é . Então, a gente tem:
Aqui, .

Passo 3

Agora, vamos solucionar essa equação diferencial. Observamos que é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para integrar cada lado.
Reescrevendo:
Separamos as variáveis:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de é , e a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para :
Podemos simplificar substituindo por uma nova constante :

Passo 6

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema diz que, se a função e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial, então existe uma solução única nessa região.
No nosso caso, e:
Ambas são contínuas para todos os valores de e , exceto quando torna o denominador zero na solução, ou seja, quando .

Passo 7

Portanto, as regiões onde o teorema se aplica são todas as áreas no plano onde . Em outras palavras, enquanto , temos existência e unicidade da solução.

Resposta

A solução geral da equação é , e o Teorema de Existência e Unicidade garante uma solução única em todas as regiões do plano onde .

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Encontre soluções para os problemas de valor inicial e , para ;
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo: ;
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. .