Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: temos a equação diferencial
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias (EDOs) e o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação e aplicar o teorema para identificar onde ele se aplica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar no formato padrão de EDOs, que é
. Então, a gente tem:
Aqui,
.
Passo 3
Agora, vamos solucionar essa equação diferencial. Observamos que é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar cada lado.
Reescrevendo:
Separamos as variáveis:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de
é
, e a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Podemos simplificar substituindo
por uma nova constante
:
Passo 6
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema diz que, se a função
e sua derivada parcial em relação a
forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial, então existe uma solução única nessa região.
No nosso caso,
e:
Ambas são contínuas para todos os valores de
e
, exceto quando
torna o denominador zero na solução, ou seja, quando
.
Passo 7
Portanto, as regiões onde o teorema se aplica são todas as áreas no plano
onde
. Em outras palavras, enquanto
, temos existência e unicidade da solução.
Resposta
A solução geral da equação é
, e o Teorema de Existência e Unicidade garante uma solução única em todas as regiões do plano
onde
.
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Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
;
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.