Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Vamos subtrair de ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 4
A próxima etapa é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por
:
Agora temos
de um lado e
do outro, prontos para serem integrados.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação. Começando pelo lado esquerdo:
A integral de em relação a
é conhecida e resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para integrar
, usamos integração por partes. Se
e
, então
e
. Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Podemos simplificar para deixar mais claro:
Passo 8
Para resolver
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação dos dois lados:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.