Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
x sen(y) + e^(-x) y' = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Vamos subtrair de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 4

A próxima etapa é separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Agora temos de um lado e do outro, prontos para serem integrados.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação. Começando pelo lado esquerdo:
A integral de em relação a é conhecida e resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para integrar , usamos integração por partes. Se e , então e . Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Podemos simplificar para deixar mais claro:

Passo 8

Para resolver , vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação dos dois lados:
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

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