Resolva cada um dos PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
E uma condição inicial que diz que quando , . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por (assumindo que ):
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Agora, vamos reunir os termos que contêm :
Isso pode ser reescrito como:
Agora, identificamos e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Portanto, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com (já que é um ponto válido), podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Isso simplifica para:
Resolvendo para :

Passo 8

Substituímos de volta na expressão para :
Simplificando ainda mais:

Resposta

A solução do problema é:

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