Resolva cada um dos PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
E uma condição inicial que diz que quando
,
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por
(assumindo que
):
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Agora, vamos reunir os termos que contêm
:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, identificamos
e
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Portanto, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com
(já que
é um ponto válido), podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na equação:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Isso simplifica para:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituímos
de volta na expressão para
:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule
Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule
Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
(21)
(21)
Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas.
(27)
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