Sendo f, g: R -> R^3 dadas por f(t) = (cos(t), sen(t), t), g(t) = (t, t^2, t^3), e psi: R -> R dada por psi(t) = e^(t^2), calcule
f * g

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá duas funções vetoriais e que mapeiam números reais para vetores em , e uma função escalar . A tarefa é calcular o produto escalar entre e , que é representado por . Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de vetores e aplicar isso às funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. Se temos dois vetores em , digamos e , o produto escalar entre eles é calculado assim:
Ou seja, multiplicamos cada componente correspondente dos vetores e somamos esses produtos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às funções e que nos foram dadas:
Vamos identificar as componentes de cada vetor:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula do produto escalar:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Juntando tudo, temos:

Resposta

O produto escalar é igual a .

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