Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A questão pede para verificar se o conjunto em é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Caso contrário, se pelo menos um vetor puder ser expresso como combinação dos demais, o conjunto é linearmente dependente.
Matematicamente, para dois vetores e , eles são linearmente independentes se a única solução para a equação
é . Se existir outra solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores do conjunto :
Vamos verificar se existe alguma combinação dos vetores que resulte no vetor nulo:
Isso se traduz nas seguintes equações:
Resolvendo:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo na terceira equação: (confirmando a solução)
Como a única solução é , isso significa que os vetores não podem ser escritos como combinação linear um do outro.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados

Para cada sistema abaixo, encontre as matrizes e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial e escreva essa equação matricial.
b.
Seja a matriz . Determine:
(a) A ordem de ;
(b) Os elementos e .
Resolva cada sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
b.
Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.