Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema de equações e quer que a gente resolva usando eliminação gaussiana. O sistema é:
Aqui, estamos lidando com um sistema de duas equações e três incógnitas (, , ). A eliminação gaussiana é uma técnica para simplificar o sistema e encontrar as soluções possíveis. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para eliminar uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
Cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes de , , e o termo independente.
Passo 3
O próximo passo é eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar o . Para isso, precisamos que os coeficientes de sejam iguais nas duas equações para que possamos subtrair uma da outra.
Observamos que os coeficientes de são 3 e 2. Podemos encontrar um múltiplo comum, que é 6. Então, multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos subtrair uma equação da outra para eliminar o :
Simplificando:
Então, temos:
Passo 5
Com essa relação entre e , podemos escolher um valor para uma das variáveis que não foi eliminada. Como temos mais variáveis do que equações, nosso sistema provavelmente terá infinitas soluções, expressas em termos de uma variável livre.
Vamos considerar como uma variável livre, ou seja, podemos atribuir qualquer valor a ela. Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Então:
E a partir da equação que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor de usando uma das equações originais. Vamos usar a segunda equação simplificada:
Substituindo por :
Resolvendo para :
Resposta
As soluções do sistema são dadas em termos do parâmetro :
Isso significa que para qualquer valor escolhido de , temos um conjunto de valores para , e que satisfazem o sistema original.