Sejam . Para quais valores de os vetores e são ortogonais em relação ao produto interno usual de ?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional :
A pergunta quer saber para quais valores de esses vetores são ortogonais. Ortogonais significa que eles são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.
Para verificar a ortogonalidade de dois vetores no espaço, usamos o produto interno (ou produto escalar). Se o produto interno for zero, os vetores são ortogonais.
Passo 2
Vamos relembrar a fórmula do produto interno de dois vetores e em :
Então, aplicando isso aos vetores e , temos:
Passo 3
Vamos calcular cada termo individualmente:
Agora, somamos esses resultados:
Passo 4
Para que os vetores e sejam ortogonais, o produto interno deles deve ser igual a zero:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .
Passo 5
Resolvendo a equação:
Resposta
Para que os vetores e sejam ortogonais em relação ao produto interno usual de , o valor de deve ser: