Sejam . Para quais valores de os vetores e são ortogonais em relação ao produto interno usual de ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional :
A pergunta quer saber para quais valores de esses vetores são ortogonais. Ortogonais significa que eles são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.
Para verificar a ortogonalidade de dois vetores no espaço, usamos o produto interno (ou produto escalar). Se o produto interno for zero, os vetores são ortogonais.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula do produto interno de dois vetores e em :
Então, aplicando isso aos vetores e , temos:

Passo 3

Vamos calcular cada termo individualmente:
Agora, somamos esses resultados:

Passo 4

Para que os vetores e sejam ortogonais, o produto interno deles deve ser igual a zero:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 5

Resolvendo a equação:

Resposta

Para que os vetores e sejam ortogonais em relação ao produto interno usual de , o valor de deve ser:

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(b)