Sejam u=(3 k, 2,-k), v=(-4,1,5) in R^3. Para quais valores de k os vetores u e v são ortogonais em relação ao produto interno usual de ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional R^3:
  • u = (3k, 2, -k)
  • v = (-4, 1, 5)
A pergunta quer saber para quais valores de k esses vetores são ortogonais. Ortogonais significa que eles são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.
Para verificar a ortogonalidade de dois vetores no espaço, usamos o produto interno (ou produto escalar). Se o produto interno for zero, os vetores são ortogonais.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula do produto interno de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) em R^3:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Então, aplicando isso aos vetores u e v, temos:
u cdot v = (3k)(-4) + (2)(1) + (-k)(5)

Passo 3

Vamos calcular cada termo individualmente:
  1. (3k)(-4) = -12k
  2. (2)(1) = 2
  3. (-k)(5) = -5k
Agora, somamos esses resultados:
u cdot v = -12k + 2 - 5k = (-12k - 5k) + 2 = -17k + 2

Passo 4

Para que os vetores u e v sejam ortogonais, o produto interno deles deve ser igual a zero:
-17k + 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de k.

Passo 5

Resolvendo a equação:
-17k + 2 = 0 -17k = -2 k = -2-17 k = 217

Resposta

Para que os vetores u e v sejam ortogonais em relação ao produto interno usual de R^3, o valor de k deve ser:
k = 217

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