Sejam
. Para quais valores de
os vetores
e
são ortogonais em relação ao produto interno usual de ?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional
:
A pergunta quer saber para quais valores de
esses vetores são ortogonais. Ortogonais significa que eles são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus.
Para verificar a ortogonalidade de dois vetores no espaço, usamos o produto interno (ou produto escalar). Se o produto interno for zero, os vetores são ortogonais.
Passo 2
Vamos relembrar a fórmula do produto interno de dois vetores
e
em
:
Então, aplicando isso aos vetores
e
, temos:
Passo 3
Vamos calcular cada termo individualmente:
Agora, somamos esses resultados:
Passo 4
Para que os vetores
e
sejam ortogonais, o produto interno deles deve ser igual a zero:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 5
Resolvendo a equação:
Resposta
Para que os vetores
e
sejam ortogonais em relação ao produto interno usual de
, o valor de
deve ser: