Resolva no conjunto dos números reais as equações:
a) 27^2x-1 = 9^x+1
b) 5^2x-1 = 1/5
c) 27^3-x = 1/81^x
d) (2/3)^3x+1 = 1
e) (2^x) ^x-1 = 4
f) 8^2-1 = 4×-1
g) 5x/5x2 = 1
h) 1/3^x = 4 raiz de 27
i) 3 raiz de 4^x = 1/8

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas equações juntas! O que você vai encontrar aqui envolve exponenciais, ou seja, expressões com potências. Vamos precisar entender como manipular as potências e usar logaritmos quando necessário. Vamos lá!

a) 27^2x-1 = 9^x+1

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as bases para que fiquem com a mesma base. Sabemos que tanto 27 quanto 9 podem ser escritos como potências de 3:
  • 27 = 3^3
  • 9 = 3^2
Então, reescrevendo a equação:
(3^3)^2x - 1 = (3^2)^x + 1

Passo 3

Agora, aplicamos a regra das potências: (a^b)^c = a^b cdot c
3^3(2x - 1) = 3^2(x + 1)
Simplificando os expoentes:
3^6x - 3 = 3^2x + 2

Passo 4

Como as bases são iguais e as potências também precisam ser iguais:
6x - 3 = 2x + 2
Agora, resolvemos para x:
6x - 2x = 2 + 3 4x = 5 x = 54

Passo 5

Vamos resolver uma equação exponencial envolvendo uma base de 5. Precisamos isolar o termo com x e usar propriedades de potências.

Passo 6

Reescrevemos 15 como uma potência de 5:
15 = 5^-1
Então, a equação fica:
5^2x - 1 = 5^-1

Passo 7

Com as bases iguais, igualamos os expoentes:
2x - 1 = -1

Passo 8

Resolvendo para x:
2x = -1 + 1 2x = 0 x = 0

Passo 9

Aqui temos potências com bases diferentes: 27 e 81. Vamos reescrever ambas como potências de 3 para facilitar a resolução.

Passo 10

Sabemos que:
27 = 3^3 81 = 3^4
Então, substituindo na equação:
(3^3)^3 - x = 1(3^4)^x

Passo 11

Aplicando a regra das potências:
3^3(3 - x) = 3^-4x
Simplificando os expoentes:
3^9 - 3x = 3^-4x

Passo 12

Com as bases iguais, igualamos os expoentes:
9 - 3x = -4x

Passo 13

Resolvendo para x:
-3x + 4x = -9 x = -9

Passo 14

Estamos lidando com uma potência igual a 1. Lembrando que qualquer número elevado a 0 é 1, mas também, se a base for 1, a potência pode ser qualquer número. Porém, 23 neq 1, então o expoente deve ser zero.

Passo 15

Então, temos:
3x + 1 = 0

Passo 16

Resolvendo para x:
3x = -1 x = -13

Passo 17

Aqui temos uma potência com uma base que também é uma potência. Vamos simplificar e reescrever 4 como uma potência de 2.

Passo 18

Sabemos que 4 = 2^2. Então, a equação fica:
(2^x)^x - 1 = 2^2

Passo 19

Aplicando a regra das potências:
2^x(x - 1) = 2^2
Simplificando:
x(x - 1) = 2

Passo 20

Resolvendo a equação quadrática:
x^2 - x - 2 = 0
Fatorando:
(x - 2)(x + 1) = 0
Então:
x = 2 ou x = -1

Passo 21

Vamos simplificar ambos os lados da equação. Não há variável para resolver aqui, apenas verificar a igualdade.

Passo 22

Calcular o lado esquerdo:
8^2 - 1 = 8^1 = 8
Calcular o lado direito:
4 times (-1) = -4

Passo 23

Comparando os dois lados:
8 neq -4

Passo 24

Vamos simplificar a fração usando as propriedades das potências. Parece que há um erro de digitação em 5^x2, vou assumir que é 5^2x.

Passo 25

A equação fica:
5^x5^2x = 1
Usando a regra de divisão de potências com a mesma base: a^ma^n = a^m - n
5^x - 2x = 1 5^-x = 1

Passo 26

Sabemos que 5^0 = 1, então:
- x = 0 x = 0

Passo 27

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que raiz27 pode ser reescrita como uma potência de 3.

Passo 28

Simplificando raiz27:
raiz27 = 27^1/2 = (3^3)^1/2 = 3^3 times 12 = 3^32
Então, o lado direito fica:
4 times 3^32 = 4 cdot 3^32

Passo 29

Reescrevendo a equação:
13^x = 4 cdot 3^32
Multiplicando ambos os lados por 3^x:
1 = 4 cdot 3^32 cdot 3^x
Usando a regra de potências: a^m cdot a^n = a^m + n
1 = 4 cdot 3^x + 32

Passo 30

Isolando a potência de 3:
3^x + 32 = 14

Passo 31

Reescrevendo 14 como uma potência de 3 não é direto, então vamos usar logaritmos:
x + 32 = log3 (14)
Lembrando que log3 (14) = -log3 4, então:
x = -log3 4 - 32

Passo 32

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, entendemos que raiz4^x é igual a 4^x/2. Além disso, podemos reescrever 4 e 8 como potências de 2.

Passo 33

Sabendo que:
4 = 2^2 8 = 2^3
Então, reescrevendo a equação:
3 cdot (2^2)^x/2 = 12^3
Simplificando:
3 cdot 2^x = 2^-3

Passo 34

Dividindo ambos os lados por 3:
2^x = 2^-33
Isso não simplifica para uma potência direta de 2, então vamos usar logaritmos:
x = log2 (2^-33) = log2 (2^-3) - log2 3 = -3 - log2 3

Resposta

x = -3 - log2 3

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