Resolva no conjunto dos números reais as equações:
a) 27^2x-1 = 9^x+1
b) 5^2x-1 = 1/5
c) 27^3-x = 1/81^x
d) (2/3)^3x+1 = 1
e) (2^x) ^x-1 = 4
f) 8^2-1 = 4×-1
g) 5x/5x2 = 1
h) 1/3^x = 4 raiz de 27
i) 3 raiz de 4^x = 1/8
a) 27^2x-1 = 9^x+1
b) 5^2x-1 = 1/5
c) 27^3-x = 1/81^x
d) (2/3)^3x+1 = 1
e) (2^x) ^x-1 = 4
f) 8^2-1 = 4×-1
g) 5x/5x2 = 1
h) 1/3^x = 4 raiz de 27
i) 3 raiz de 4^x = 1/8
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas equações juntas! O que você vai encontrar aqui envolve exponenciais, ou seja, expressões com potências. Vamos precisar entender como manipular as potências e usar logaritmos quando necessário. Vamos lá!
a)
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as bases para que fiquem com a mesma base. Sabemos que tanto 27 quanto 9 podem ser escritos como potências de 3:
Então, reescrevendo a equação:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra das potências:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
Como as bases são iguais e as potências também precisam ser iguais:
Agora, resolvemos para
:
Passo 5
Vamos resolver uma equação exponencial envolvendo uma base de 5. Precisamos isolar o termo com
e usar propriedades de potências.
Passo 6
Reescrevemos
como uma potência de 5:
Então, a equação fica:
Passo 7
Com as bases iguais, igualamos os expoentes:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Aqui temos potências com bases diferentes: 27 e 81. Vamos reescrever ambas como potências de 3 para facilitar a resolução.
Passo 10
Sabemos que:
Então, substituindo na equação:
Passo 11
Aplicando a regra das potências:
Simplificando os expoentes:
Passo 12
Com as bases iguais, igualamos os expoentes:
Passo 13
Resolvendo para
:
Passo 14
Estamos lidando com uma potência igual a 1. Lembrando que qualquer número elevado a 0 é 1, mas também, se a base for 1, a potência pode ser qualquer número. Porém,
, então o expoente deve ser zero.
Passo 15
Então, temos:
Passo 16
Resolvendo para
:
Passo 17
Aqui temos uma potência com uma base que também é uma potência. Vamos simplificar e reescrever 4 como uma potência de 2.
Passo 18
Sabemos que
. Então, a equação fica:
Passo 19
Aplicando a regra das potências:
Simplificando:
Passo 20
Resolvendo a equação quadrática:
Fatorando:
Então:
Passo 21
Vamos simplificar ambos os lados da equação. Não há variável para resolver aqui, apenas verificar a igualdade.
Passo 22
Calcular o lado esquerdo:
Calcular o lado direito:
Passo 23
Comparando os dois lados:
Passo 24
Vamos simplificar a fração usando as propriedades das potências. Parece que há um erro de digitação em
, vou assumir que é
.
Passo 25
A equação fica:
Usando a regra de divisão de potências com a mesma base:
Passo 26
Sabemos que
, então:
Passo 27
Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que
pode ser reescrita como uma potência de 3.
Passo 28
Simplificando
:
Então, o lado direito fica:
Passo 29
Reescrevendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Usando a regra de potências:
Passo 30
Isolando a potência de 3:
Passo 31
Reescrevendo
como uma potência de 3 não é direto, então vamos usar logaritmos:
Lembrando que
, então:
Passo 32
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, entendemos que
é igual a
. Além disso, podemos reescrever 4 e 8 como potências de 2.
Passo 33
Sabendo que:
Então, reescrevendo a equação:
Simplificando:
Passo 34
Dividindo ambos os lados por 3:
Isso não simplifica para uma potência direta de 2, então vamos usar logaritmos: