Resolva.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse problema pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente de equações separáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Aqui, conseguimos isolar de um lado e do outro, o que nos permite integrar separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma fração racional que pode ser resolvida usando frações parciais:
Para integrar , reconhecemos que:

Passo 4

Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Então, temos:

Passo 5

Para isolar , multiplicamos ambos os lados por 4:
onde .
Em seguida, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma constante.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Rearranjando os termos:
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante que pode ser determinada a partir de uma condição inicial.

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