Resolva. $\frac{d x}{d t}=x+\sin t
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações lineares:
. No nosso caso, podemos reescrever como:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Passo 5
Com isso, a parte esquerda da equação se torna a derivada do produto
:
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso ocorra.
Passo 6
Para achar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
A integral
pode ser resolvida usando integração por partes ou reconhecendo a fórmula padrão:
Aqui,
e
, então temos:
Passo 8
Substituindo de volta na equação, ficamos com:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Resolva.
Resolva.