Resolva. $\frac{d x}{d t}=x+\sin t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações lineares: . No nosso caso, podemos reescrever como:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:

Passo 5

Com isso, a parte esquerda da equação se torna a derivada do produto :
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso ocorra.

Passo 6

Para achar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

A integral pode ser resolvida usando integração por partes ou reconhecendo a fórmula padrão:
Aqui, e , então temos:

Passo 8

Substituindo de volta na equação, ficamos com:

Passo 9

Finalmente, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Resolva.
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