Resolva. $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x^{2}-1},-1<x<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: para .
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Substituindo :
Para resolver essa integral, podemos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos o fator integrante, multiplicamos toda a equação original por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Podemos racionalizar a expressão:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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