Resolva. $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x^{2}-1},-1<x<1
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
para
.
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Substituindo
:
Para resolver essa integral, podemos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos o fator integrante, multiplicamos toda a equação original por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos racionalizar a expressão:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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