Resolva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda ao longo do tempo. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Finalmente, isolando
:
Onde
é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
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Resolva.
Resolva. $\frac{d x}{d t}=x+\sin t
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