Resolva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: . Esse problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda ao longo do tempo. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Onde é a constante de integração.

Resposta

Finalmente, isolando :
Onde é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

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Resolva.
Resolva. $\frac{d x}{d t}=x+\sin t
Resolva. $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x^{2}-1},-1<x<1
Resolva. $\frac{d x}{d t}=2 x-1