Resolva. $\frac{d y}{d x}=-2 y+\cos 2 x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: .
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar de um fator integrante que nos ajudará a integrar a equação.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão das equações lineares:
Aqui, identificamos que o coeficiente de é 2.

Passo 3

Agora, encontramos o fator integrante, que é dado por:
O fator integrante é uma função que, quando multiplicada na equação, facilita a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto .

Passo 5

Reescrevemos a equação como:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

Calculamos a integral . Sabemos que:
Aplicando com e :

Passo 8

Substituímos a integral na equação anterior:
Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolva. $\frac{d x}{d t}=\ln t
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
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Resolva.