Resolva. $\frac{d y}{d x}=-2 y+\cos 2 x
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
.
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar de um fator integrante que nos ajudará a integrar a equação.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão das equações lineares:
Aqui, identificamos que o coeficiente de
é 2.
Passo 3
Agora, encontramos o fator integrante, que é dado por:
O fator integrante é uma função que, quando multiplicada na equação, facilita a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto
.
Passo 5
Reescrevemos a equação como:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 7
Calculamos a integral
. Sabemos que:
Aplicando com
e
:
Passo 8
Substituímos a integral na equação anterior:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva.