Resolva as desigualdades abaixo.
(l)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Essa é uma questão de Álgebra que envolve resolver desigualdades polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios, encontrar os valores que anulam cada fator e analisar os intervalos formados para determinar onde a expressão é menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar cada polinômio dentro da desigualdade.
O primeiro polinômio é , que é uma diferença de quadrados. Podemos fatorar assim:
O segundo polinômio é . Para fatorar esse, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:

Passo 3

Agora, substituímos as fatorações na desigualdade original:
Podemos simplificar multiplicando os termos iguais:

Passo 4

Identificamos os valores de x que fazem cada fator ser zero, esses são chamados de pontos críticos:
Então, os pontos críticos são , e . Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:

Passo 5

Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
  1. Para :
    • é sempre positivo.
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo * negativo * negativo = positivo.
  2. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo * positivo * negativo = negativo.
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo * positivo * positivo = positivo.
  4. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo * positivo * positivo = positivo.

Passo 6

Lembrando que a desigualdade é menor ou igual a zero ( ), procuramos onde a expressão é negativa ou igual a zero.
  • Intervalo : expressão negativa.
  • Pontos , , e :
    • Em e , a expressão é zero.
    • Em , a expressão também é zero devido ao fator .

Resposta

A solução da desigualdade é:

Exercícios relacionados

As desigualdades abaixo envolvem produtos e quocientes e podem ser resolvidas por meio do estudo do sinal, como na Questão 1. Resolva as desigualdades.
(d)
Resolva as desigualdades abaixo.
(k)
Resolva as equações abaixo.
(e)
Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
(b)