Resolva as desigualdades abaixo.
(l) (x^2 - 4)(x^2 - 3 x + 2) <= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade (x^2 - 4)(x^2 - 3 x + 2) <= 0. Essa é uma questão de Álgebra que envolve resolver desigualdades polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios, encontrar os valores que anulam cada fator e analisar os intervalos formados para determinar onde a expressão é menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar cada polinômio dentro da desigualdade.
O primeiro polinômio é , que é uma diferença de quadrados. Podemos fatorar assim:
O segundo polinômio é . Para fatorar esse, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:

Passo 3

Agora, substituímos as fatorações na desigualdade original:
Podemos simplificar multiplicando os termos iguais:

Passo 4

Identificamos os valores de x que fazem cada fator ser zero, esses são chamados de pontos críticos:
Então, os pontos críticos são , x = 1 e x = 2. Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
  1. x > 2

Passo 5

Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
  1. Para :
    • é sempre positivo.
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo * negativo * negativo = positivo.
  2. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo * positivo * negativo = negativo.
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo * positivo * positivo = positivo.
  4. Para x > 2:
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo * positivo * positivo = positivo.

Passo 6

Lembrando que a desigualdade é menor ou igual a zero ( ), procuramos onde a expressão é negativa ou igual a zero.
  • Intervalo : expressão negativa.
  • Pontos , x = 1, e x = 2:
    • Em e x = 1, a expressão é zero.
    • Em x = 2, a expressão também é zero devido ao fator .

Resposta

A solução da desigualdade é:

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