Resolva as desigualdades abaixo.
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Essa é uma questão de Álgebra que envolve resolver desigualdades polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios, encontrar os valores que anulam cada fator e analisar os intervalos formados para determinar onde a expressão é menor ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar cada polinômio dentro da desigualdade.
O primeiro polinômio é
, que é uma diferença de quadrados. Podemos fatorar assim:
O segundo polinômio é
. Para fatorar esse, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:
Passo 3
Agora, substituímos as fatorações na desigualdade original:
Podemos simplificar multiplicando os termos iguais:
Passo 4
Identificamos os valores de x que fazem cada fator ser zero, esses são chamados de pontos críticos:
Então, os pontos críticos são
,
e
. Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
Passo 5
Vamos analisar o sinal da expressão
em cada intervalo.
-
Para
: -
é sempre positivo. -
é negativo. -
é negativo. - Produto: positivo * negativo * negativo = positivo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é negativo. - Produto: positivo * positivo * negativo = negativo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo * positivo * positivo = positivo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo * positivo * positivo = positivo.
-
Passo 6
Lembrando que a desigualdade é menor ou igual a zero (
), procuramos onde a expressão é negativa ou igual a zero.
- Intervalo
: expressão negativa. - Pontos
, , e : - Em
e , a expressão é zero. - Em
, a expressão também é zero devido ao fator .
- Em
Resposta
A solução da desigualdade é:
Exercícios relacionados
As desigualdades abaixo envolvem produtos e quocientes e podem ser resolvidas por meio do estudo do sinal, como na Questão 1. Resolva as desigualdades.
(d)
(d)
Resolva as desigualdades abaixo.
(k)
(k)
Resolva as equações abaixo.
(e)
(e)
Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
(b)
(b)