Resolva as desigualdades abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Essa é uma questão de Álgebra que envolve resolver desigualdades polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios, encontrar os valores que anulam cada fator e analisar os intervalos formados para determinar onde a expressão é menor ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar cada polinômio dentro da desigualdade.
O primeiro polinômio é
, que é uma diferença de quadrados. Podemos fatorar assim:
O segundo polinômio é
. Para fatorar esse, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:
Passo 3
Agora, substituímos as fatorações na desigualdade original:
Podemos simplificar multiplicando os termos iguais:
Passo 4
Identificamos os valores de x que fazem cada fator ser zero, esses são chamados de pontos críticos:
Então, os pontos críticos são
,
e
. Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
Passo 5
Vamos analisar o sinal da expressão
em cada intervalo.
-
Para
: -
é sempre positivo. -
é negativo. -
é negativo. - Produto: positivo * negativo * negativo = positivo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é negativo. - Produto: positivo * positivo * negativo = negativo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo * positivo * positivo = positivo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo * positivo * positivo = positivo.
-
Passo 6
Lembrando que a desigualdade é menor ou igual a zero (
), procuramos onde a expressão é negativa ou igual a zero.
- Intervalo
: expressão negativa. - Pontos
, , e : - Em
e , a expressão é zero. - Em
, a expressão também é zero devido ao fator .
- Em
Resposta
A solução da desigualdade é: