Resolva as desigualdades a seguir.
|x + 1| < |2x - 1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Esse exercício envolve o estudo de desigualdades com valor absoluto, um tema importante na matemática que nos ajuda a entender a distância entre números na reta numérica. Para resolver, vamos precisar conhecer o que é valor absoluto e como trabalhar com desigualdades que os envolvem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto. O valor absoluto de um número é sempre positivo e representa a distância desse número até zero na reta numérica. Por exemplo, e . Quando temos desigualdades com valores absolutos, precisamos considerar diferentes casos para resolver.

Passo 3

Para resolver , vamos analisar os diferentes casos baseados nos sinais das expressões dentro dos valores absolutos. Isso significa que precisamos considerar quando e são positivos ou negativos.

Passo 4

Vamos dividir a resolução em duas partes, dependendo dos sinais das expressões:
Caso 1:
Nesse caso, . A desigualdade fica:
Agora, vamos considerar os subcasos para :
  • Subcaso 1.1:
    Então, . A desigualdade fica:
    Resolvendo para :
    Ou seja, .
  • Subcaso 1.2:
    Então, . A desigualdade fica:
    Resolvendo para :
No Caso 1, combinando as condições e , temos que .
Caso 2:
Nesse caso, . A desigualdade fica:
Agora, vamos considerar os subcasos para :
  • Subcaso 2.1:
    Então, . A desigualdade fica:
    Resolvendo para :
  • Subcaso 2.2:
    Então, . A desigualdade fica:
    Resolvendo para :
No Caso 2, combinando as condições e , temos que .

Resposta

A solução da desigualdade é todo número real que satisfaz ou . Em intervalos, isso pode ser representado como:

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Resolva as seguintes desigualdades.
(1-x)(x^2 + 2x + 2) < 0
Resolva as desigualdades a seguir.
|2x - 1| < x
Resolva as desigualdades a seguir.
|2*x^2 - 1| < 1
Resolva as desigualdades a seguir.
|x - 3| < x + 1