Resolva as EDO (1 + ln(x) + y/x) dx + (ln(x) - 1) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo:

Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos verificar se ela é exata ou se precisamos de um fator integrante. Precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e condições de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e na equação. Chamamos esses de M e N respectivamente:

Para saber se a EDO é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:

Como , a equação é exata! Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função F(x, y). Integramos M em relação a x:

Integrando termo a termo:

Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N para encontrar g(y):

Então:
Subtraindo ln x de ambos os lados:

Integrando em relação a y:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos g(y) de volta na expressão de F(x, y):

Para a solução geral da EDO, igualamos F(x, y) a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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