Resolva as EDO y = x * y' - (y')^3

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma . O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais, especificamente aquelas que relacionam uma função e sua derivada . Para resolver essa equação, precisaremos manipular a expressão para isolar e, em seguida, integrar para encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar , onde é a derivada de em relação a . Com essa substituição, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que e, portanto, . Derivando:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 4

Simplificando a equação resultante:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :

Passo 5

Essa expressão nos dá duas possibilidades:
  1. : Isso significa que é constante.
  2. : Resolvendo para , temos .
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 6

Caso 1:
Se é constante, digamos , então:
Essa é uma solução geral onde é uma constante arbitrária.

Passo 7

Caso 2:
Sabendo que , temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a para encontrar :
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante, ou
onde é a constante de integração.

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