Resolva as EDO
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma
. O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais, especificamente aquelas que relacionam uma função
e sua derivada
. Para resolver essa equação, precisaremos manipular a expressão para isolar
e, em seguida, integrar para encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar
, onde
é a derivada de
em relação a
. Com essa substituição, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que
e, portanto,
. Derivando:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Simplificando a equação resultante:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Passo 5
Essa expressão nos dá duas possibilidades:
-
: Isso significa que é constante. -
: Resolvendo para , temos .
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 6
Caso 1:
Se
é constante, digamos
, então:
Essa é uma solução geral onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Caso 2:
Sabendo que
, temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante, ou
onde
é a constante de integração.