Resolva as EDO
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma
. O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais, especificamente aquelas que relacionam uma função
e sua derivada
. Para resolver essa equação, precisaremos manipular a expressão para isolar
e, em seguida, integrar para encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar
, onde
é a derivada de
em relação a
. Com essa substituição, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que
e, portanto,
. Derivando:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Simplificando a equação resultante:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Passo 5
Essa expressão nos dá duas possibilidades:
-
: Isso significa que é constante. -
: Resolvendo para , temos .
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 6
Caso 1:
Se
é constante, digamos
, então:
Essa é uma solução geral onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Caso 2:
Sabendo que
, temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante, ou
onde
é a constante de integração.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.108ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“23.473ex” height=“3.478ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1047.1 10375.3 1537.1”><title>d y/d x = (1 - (x + y)) / (x + y) ; u = x + y</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(249,485) scale(0.707)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D451” d=“M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 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95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3507,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(946.9,-345) scale(0.707)”><g 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