Resolva as EDO17)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo
. A matéria que estamos usando aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente usando uma técnica de substituição para simplificar e resolver a equação. Para isso, vamos precisar substituir uma parte da equação por uma nova variável que facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a substituição que vai simplificar nossa equação. Eles já nos deram a dica: vamos definir
. Isso significa que estamos agrupando partes da equação que se repetem para facilitar a resolução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
. O termo constante
desaparece porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Substituindo
na equação original pela expressão que encontramos para
:
Agora, vamos simplificar a equação subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 6
Vamos separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
é:
Portanto, temos:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Podemos reescrever isso como:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Passo 8
Lembrando que
, vamos substituir de volta para encontrar
:
Isolando
:
Podemos simplificar a constante absorvendo o sinal negativo:
Onde
é uma nova constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.