Resolva as EDO17) d y/d x = 1 + e^(y - x + 5) ; u = y - x + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo . A matéria que estamos usando aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente usando uma técnica de substituição para simplificar e resolver a equação. Para isso, vamos precisar substituir uma parte da equação por uma nova variável que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a substituição que vai simplificar nossa equação. Eles já nos deram a dica: vamos definir . Isso significa que estamos agrupando partes da equação que se repetem para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Sabemos que:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é e a derivada de é . O termo constante desaparece porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Substituindo na equação original pela expressão que encontramos para :
Agora, vamos simplificar a equação subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 6

Vamos separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de em relação a é:
E a integral de é:
Portanto, temos:

Passo 7

Vamos resolver para :
Podemos reescrever isso como:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para :

Passo 8

Lembrando que , vamos substituir de volta para encontrar :
Isolando :
Podemos simplificar a constante absorvendo o sinal negativo:
Onde é uma nova constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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