Resolva a EDO abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é dada por:
Nesse exercício, vamos trabalhar com EDO de primeira ordem e aprenderemos a resolver usando o método de separação de variáveis. Para isso, precisamos entender como reorganizar a equação para isolar as variáveis
e
de lados diferentes da igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
O que queremos é separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com
estão de um lado e os termos com
estão de outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é conhecida na matemática, assim como a integral de
:
Integrando o lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Como
é uma constante arbitrária, podemos escrever simplesmente
:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Resposta
Substituindo
na solução geral, temos: