Resolva a EDO abaixo.
dr/dt = a(r-k), r(0) = r0, a, k, r0 em R

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é dada por:
Nesse exercício, vamos trabalhar com EDO de primeira ordem e aprenderemos a resolver usando o método de separação de variáveis. Para isso, precisamos entender como reorganizar a equação para isolar as variáveis e de lados diferentes da igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
O que queremos é separar os termos que envolvem dos que envolvem . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com estão de um lado e os termos com estão de outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é conhecida na matemática, assim como a integral de :
Integrando o lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos simplificar como uma nova constante :
Como é uma constante arbitrária, podemos escrever simplesmente :

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :

Resposta

Substituindo na solução geral, temos:

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