Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que está relacionada a funções e suas derivadas. O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante, que ajuda a resolver EDOs lineares da forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa equação. Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo
temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver a integral usando substituição. Seja
, então
, ou
. Mas aqui temos
.
Portanto:
Essa integral é
, substituindo de volta:
Passo 7
Voltando à equação:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é: