Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
y' + 2xy = x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que está relacionada a funções e suas derivadas. O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante, que ajuda a resolver EDOs lineares da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa equação. Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos resolver a integral usando substituição. Seja , então , ou . Mas aqui temos .
Portanto:
Essa integral é , substituindo de volta:

Passo 7

Voltando à equação:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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