Resolva as EDO

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O conteúdo que vamos precisar para resolver essa EDO é o método para resolver equações lineares de primeira ordem. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar isolado na equação. Para isso, dividimos toda a equação por :
Agora, a equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
onde e .

Passo 3

Para resolver essa EDO, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, precisamos calcular o fator integrante que é dado por:
Vamos calcular essa integral:

Passo 4

Observando a integral, podemos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então . Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante fica:
Como já está no denominador original da equação, podemos considerar sem o valor absoluto:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que voltamos à equação original, o que confirma que o fator integrante está correto.

Passo 6

Agora, observamos que a equação multiplicada pelo fator integrante pode ser escrita como a derivada de :

Passo 7

Integrando ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral da EDO:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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