Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O conteúdo que vamos precisar para resolver essa EDO é o método para resolver equações lineares de primeira ordem. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar
isolado na equação. Para isso, dividimos toda a equação por
:
Agora, a equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa EDO, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, precisamos calcular o fator integrante
que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Passo 4
Observando a integral, podemos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
. Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante fica:
Como
já está no denominador original da equação, podemos considerar sem o valor absoluto:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que voltamos à equação original, o que confirma que o fator integrante está correto.
Passo 6
Agora, observamos que a equação multiplicada pelo fator integrante pode ser escrita como a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
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