Resolva as EDO7) yx d yd x=(1+x^2)^-12(1+y^2)^12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a EDO:
yx dydx = (1 + x^2)^-12 (1 + y^2)^12
Aqui, trabalharemos com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar dydx = (1 + x^2)^-12 (1 + y^2)^12 cdot xy :
Isso facilita para ver como separar as variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y(1 + y^2)^12 dy = (1 + x^2)^-12 x dx e . A ideia é ter todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro lado.
Multiplicando ambos os lados por e dividindo por :

Passo 4

Agora, vamos simplificar as expressões. No lado esquerdo, podemos simplificar yraiz1 + y^2 dy = xraiz1 + x^2 dx :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
integral yraiz1 + y^2 dy
Fazendo a substituição integral yraiz1 + y^2 dy = 12 integral duraizu = 12 cdot 2raizu + C = raiz1 + y^2 + C , então integral xraiz1 + x^2 dx , ou seja, integral xraiz1 + x^2 dx = 12 integral dvraizv = 12 cdot 2raizv + C = raiz1 + x^2 + C :
Agora, o lado direito:
Usamos a substituição semelhante , então , ou seja, :

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados:
raiz1 + y^2 = raiz1 + x^2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
raiz1 + y^2 = raiz1 + x^2 + C
Onde é uma constante real.

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