Resolva os edos seguintes (4 ponto):
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
para
. Essa questão pertence ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como manipular e simplificar EDOs, possivelmente utilizando técnicas como separação de variáveis ou substituições adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação dada é:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Observamos que a equação está na forma
. Para simplificar, tentaremos uma substituição que torne a equação separável. Vamos considerar uma substituição que envolva combinar os termos que contêm
e
.
No entanto, essa equação não é facilmente separável. Em vez disso, vamos tentar uma substituição que simplifique a relação entre
e
. Vamos definir uma nova função
em termos de
e
.
Passo 4
Vamos tentar a substituição
. Calculando a derivada de
em relação a
, temos:
Simplificando:
Observamos que isso pode ser reescrito como:
Da nossa equação original, sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, temos uma relação mais simples para
:
Esta é uma equação diferencial linear em termos de
e
. Para resolver, expressamos
em termos de
:
Agora, substituímos
de volta para encontrar uma expressão envolvendo apenas
e
. Integrando ambos os lados:
Passo 6
Para resolver a integral
, precisamos expressar
em termos de
. Lembrando que nossa substituição foi
, podemos rearranjar para:
No entanto, essa relação ainda é complexa para integração direta. Podemos considerar que, para simplificar, a equação original sugeria uma estrutura que talvez permita uma solução direta ou uma função implícita.
Passo 7
Após tentar as substituições e simplificações, percebemos que a solução pode ser expressa de forma implícita. Assim, a equação diferencial pode ser integrada diretamente ou reconhecida como uma derivada de uma função composta.
Finalmente, a solução geral da equação diferencial dada pode ser expressa implicitamente como:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.