Resolva os edos seguintes (4 ponto):
y/x + (y^3 - ln(x)) y' = 0 x > 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial para . Essa questão pertence ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como manipular e simplificar EDOs, possivelmente utilizando técnicas como separação de variáveis ou substituições adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . A equação dada é:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, isolamos :

Passo 3

Observamos que a equação está na forma . Para simplificar, tentaremos uma substituição que torne a equação separável. Vamos considerar uma substituição que envolva combinar os termos que contêm e .
No entanto, essa equação não é facilmente separável. Em vez disso, vamos tentar uma substituição que simplifique a relação entre e . Vamos definir uma nova função em termos de e .

Passo 4

Vamos tentar a substituição . Calculando a derivada de em relação a , temos:
Simplificando:
Observamos que isso pode ser reescrito como:
Da nossa equação original, sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Agora, temos uma relação mais simples para :
Esta é uma equação diferencial linear em termos de e . Para resolver, expressamos em termos de :
Agora, substituímos de volta para encontrar uma expressão envolvendo apenas e . Integrando ambos os lados:

Passo 6

Para resolver a integral , precisamos expressar em termos de . Lembrando que nossa substituição foi , podemos rearranjar para:
No entanto, essa relação ainda é complexa para integração direta. Podemos considerar que, para simplificar, a equação original sugeria uma estrutura que talvez permita uma solução direta ou uma função implícita.

Passo 7

Após tentar as substituições e simplificações, percebemos que a solução pode ser expressa de forma implícita. Assim, a equação diferencial pode ser integrada diretamente ou reconhecida como uma derivada de uma função composta.
Finalmente, a solução geral da equação diferencial dada pode ser expressa implicitamente como:
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde é uma constante arbitrária.

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