Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(e) , para quaisquer funções suaves e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma certa integral sobre a superfície é igual a uma integral dentro da região . Isso envolve o Teorema da Divergência, que é um conceito de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema a funções suaves e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral do divergente de um campo vetorial sobre o volume é igual à integral de vezes o vetor normal na superfície :

Passo 3

Agora, vamos escolher um campo vetorial que, quando aplicarmos o teorema, nos ajude a chegar na expressão que precisamos provar. Observando a integral da superfície, vemos termos com e e suas derivadas normais. Então, uma boa escolha é:

Passo 4

Com esse , vamos calcular a divergente dele:
Usando a regra do produto para divergentes, temos:
Então,

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Divergência ao campo :
Substituindo o que encontramos para :

Passo 6

Agora, vamos analisar o lado direito. O produto escalar é a derivada direcional de na direção normal, denotada por . Similarmente, . Então:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Verifique que a função é harmônica não nula e tal que, para todo ponto da circunferência , vale . Por que isso não contradiz o resultado obtido no exercício 7 ? Justifique.
Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se é holomorfa em , então valem as identidades
em todos os pontos de .
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados.
Resolva a EDP a seguir:
(b) .
Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo a bola unitária fechada centrada na origem de .