Suponha que a região sólida Omega subset R^3 e a superfície S=partial Omega, orientada pelo campo unitário normal n, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(e) integral duplaS(f partial gpartial n-g partial fpartial n) d S=integral triplaOmega(f De, para quaisquer funções suaves f e g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma certa integral sobre a superfície é igual a uma integral dentro da região . Isso envolve o Teorema da Divergência, que é um conceito de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema a funções suaves e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral do divergente de um campo vetorial integral triplaOmega nabla cdot F , dV = integral duplaS F cdot n , dS sobre o volume é igual à integral de vezes o vetor normal na superfície :

Passo 3

Agora, vamos escolher um campo vetorial F = f nabla g - g nabla f que, quando aplicarmos o teorema, nos ajude a chegar na expressão que precisamos provar. Observando a integral da superfície, vemos termos com e e suas derivadas normais. Então, uma boa escolha é:

Passo 4

Com esse nabla cdot F = nabla cdot (f nabla g) - nabla cdot (g nabla f) , vamos calcular a divergente dele:
nabla cdot (f nabla g) = f De
Usando a regra do produto para divergentes, temos:
nabla cdot (g nabla f) = g De
nabla cdot F = f De
Então,

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Divergência ao campo integral triplaOmega nabla cdot F , dV = integral duplaS F cdot n , dS :
integral triplaOmega (f De
Substituindo o que encontramos para :

Passo 6

Agora, vamos analisar o lado direito. O produto escalar integral duplaS (f nabla g - g nabla f) cdot n , dS = integral duplaS ( f partial gpartial n - g partial fpartial n ) dS é a derivada direcional de na direção normal, denotada por . Similarmente, . Então:

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral duplaS(f partial gpartial n - g partial fpartial n) dS = integral triplaOmega(f De

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