Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(e)
, para quaisquer funções suaves
e
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma certa integral sobre a superfície
é igual a uma integral dentro da região
. Isso envolve o Teorema da Divergência, que é um conceito de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema a funções suaves
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral do divergente de um campo vetorial
sobre o volume
é igual à integral de
vezes o vetor normal
na superfície
:
Passo 3
Agora, vamos escolher um campo vetorial
que, quando aplicarmos o teorema, nos ajude a chegar na expressão que precisamos provar. Observando a integral da superfície, vemos termos com
e
e suas derivadas normais. Então, uma boa escolha é:
Passo 4
Com esse
, vamos calcular a divergente dele:
Usando a regra do produto para divergentes, temos:
Então,
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Divergência ao campo
:
Substituindo o que encontramos para
:
Passo 6
Agora, vamos analisar o lado direito. O produto escalar
é a derivada direcional de
na direção normal, denotada por
. Similarmente,
. Então:
Resposta
Portanto, mostramos que: