Resolva as EDPs abaixo considerando as condições dadas:
(b) u_xy = e^x sec^2(y), u_x(x, pi/4) = 0, u(0, y) = tg(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui envolve Resolver uma Equação Diferencial Parcial (EDP). A equação dada é com algumas condições iniciais: e . Vamos precisar integrar essa equação passo a passo para encontrar a função u(x, y) que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação em relação a y. Integrar em relação a y nos dá , onde C(x) é uma função que depende só de x. A integral de em relação a y é , então temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a condição . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Passo 4

Com C(x) encontrado, podemos escrever a expressão completa de :
Agora, vamos integrar em relação a x para encontrar u(x, y):

Passo 5

Calculando a integral:
Então, temos:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial . Substituindo x = 0:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, substituímos na expressão de u(x, y):

Resposta

A solução da EDP é:

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