Resolva as EDPs abaixo considerando as condições dadas:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui envolve Resolver uma Equação Diferencial Parcial (EDP). A equação dada é com algumas condições iniciais: e . Vamos precisar integrar essa equação passo a passo para encontrar a função u(x, y) que satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação em relação a y. Integrar em relação a y nos dá , onde C(x) é uma função que depende só de x. A integral de em relação a y é , então temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:
Passo 4
Com C(x) encontrado, podemos escrever a expressão completa de :
Agora, vamos integrar em relação a x para encontrar u(x, y):
Passo 5
Calculando a integral:
Então, temos:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial . Substituindo x = 0: