Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial (EDP) que envolve as variáveis e . A equação que a gente tem é . Isso faz parte da matéria de EDPs, especificamente tratando de equações onde a derivada é em relação a uma das variáveis (no caso, ). Para resolver isso, a gente vai integrar a equação duas vezes em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Isso representa a segunda derivada de em relação a . Então, nossa equação é:
Para encontrar , precisamos integrar essa expressão duas vezes em relação a .

Passo 3

Vamos começar com a primeira integração. Integramos em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de , já que estamos integrando em relação a .

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral de volta na expressão para :
A próxima etapa é integrar novamente essa expressão em relação a para encontrar .

Passo 6

Vamos integrar em relação a :
Aqui, é a função de integração final que depende de .

Passo 7

Vamos resolver as integrais separadamente:
  1. Para , usamos integração por partes novamente:
    Aplicando integração por partes:
  2. Para :
  3. Para :

Passo 8

Agora, juntando todas as partes integradas:
Onde e são funções arbitrárias de que podem ser determinadas por condições adicionais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da EDP é:
Onde e são funções arbitrárias de .

Exercícios relacionados

Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
(a)
Seja
Calcule a integral para , com , no sentido horário.
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
(d)
Resolva as EDPs abaixo considerando as condições dadas:
(b)