Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial (EDP) que envolve as variáveis
e
. A equação que a gente tem é
. Isso faz parte da matéria de EDPs, especificamente tratando de equações onde a derivada é em relação a uma das variáveis (no caso,
). Para resolver isso, a gente vai integrar a equação duas vezes em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. Isso representa a segunda derivada de
em relação a
. Então, nossa equação é:
Para encontrar
, precisamos integrar essa expressão duas vezes em relação a
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integração. Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que pode depender de
, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, usamos integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral de volta na expressão para
:
A próxima etapa é integrar novamente essa expressão em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é a função de integração final que depende de
.
Passo 7
Vamos resolver as integrais separadamente:
-
Para
, usamos integração por partes novamente: Aplicando integração por partes: -
-
Para
: -
Para
:
Passo 8
Agora, juntando todas as partes integradas:
Onde
e
são funções arbitrárias de
que podem ser determinadas por condições adicionais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da EDP é:
Onde
e
são funções arbitrárias de
.
Exercícios relacionados
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(a)
(a)
Seja
Calcule a integral
para
, com
, no sentido horário.
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(d)
(d)
Resolva as EDPs abaixo considerando as condições dadas:
(b)
(b)