Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(e)
(e)
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo da matéria:
Temos a equação diferencial parcial (EDP)
, onde
é uma função das variáveis independentes
e
. Vamos utilizar técnicas de resolução de EDPs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Análise da equação:
A equação
envolve derivadas apenas em relação a
. Isso significa que, para cada valor fixo de
, a equação se comporta como uma equação diferencial ordinária (EDO) em
.
Passo 3
Resolvendo a EDO associada:
Vamos resolver a equação diferencial ordinária:
A equação característica associada é:
Resolvendo para
:
Passo 4
Construindo a solução geral:
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da EDO é dada por:
onde
e
são funções arbitrárias de
. Essas funções podem ser determinadas caso haja condições adicionais, mas como não temos mais informações, elas permanecem gerais.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são funções arbitrárias de
.