Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes x e y :
(e) u_xx + u = 0

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo da matéria:
Temos a equação diferencial parcial (EDP) , onde u é uma função das variáveis independentes x e y. Vamos utilizar técnicas de resolução de EDPs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Análise da equação:
A equação envolve derivadas apenas em relação a x. Isso significa que, para cada valor fixo de y, a equação se comporta como uma equação diferencial ordinária (EDO) em x.

Passo 3

Resolvendo a EDO associada:
Vamos resolver a equação diferencial ordinária:
A equação característica associada é:
Resolvendo para r:

Passo 4

Construindo a solução geral:
Com raízes complexas da forma , a solução geral da EDO é dada por:
onde e são funções arbitrárias de y. Essas funções podem ser determinadas caso haja condições adicionais, mas como não temos mais informações, elas permanecem gerais.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são funções arbitrárias de y.

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