Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve as variáveis e . A equação dada é:
Nesse caso, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem em relação a . Vamos precisar usar métodos para resolver equações lineares não homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero), temos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, ela é um quadrado perfeito:
Então, as soluções da equação homogênea são:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) da equação não homogênea:
Como o termo do lado direito é e essa função já faz parte da solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicação. Assim, tentamos:

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo , , e na equação não homogênea:
Simplificando:
Oops! Isso nos dá , o que significa que nossa suposição inicial para está errada. Precisamos tentar outra forma para a solução particular.

Passo 7

Vamos tentar uma solução particular diferente. Como já está na solução homogênea com multiplicador , tentamos multiplicar por :
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Então:

Passo 9

Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Agora, juntando a solução homogênea e a particular, a solução geral da equação é:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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