Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve as variáveis e . A equação dada é:
Nesse caso, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem em relação a . Vamos precisar usar métodos para resolver equações lineares não homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero), temos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, ela é um quadrado perfeito:
Então, as soluções da equação homogênea são:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular () da equação não homogênea:
Como o termo do lado direito é e essa função já faz parte da solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicação. Assim, tentamos:
Passo 5
Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo , , e na equação não homogênea:
Simplificando:
Oops! Isso nos dá , o que significa que nossa suposição inicial para está errada. Precisamos tentar outra forma para a solução particular.
Passo 7
Vamos tentar uma solução particular diferente. Como já está na solução homogênea com multiplicador , tentamos multiplicar por :
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Agora, juntando a solução homogênea e a particular, a solução geral da equação é: