Use a regra da cadeia para achar d/z dt.
z = x * y * e^(y), x = t^2, y = 5 * t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia para achar a derivada de em relação a , ou seja, . O enunciado nos dá as seguintes funções:
A regra da cadeia é super útil quando temos funções compostas, como é o caso aqui. Vamos precisar derivar cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de . Como e , substituímos esses valores na expressão de :
Multiplicando os termos, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Temos uma função que é o produto de duas funções de : e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
Para , usamos a regra da cadeia novamente, já que a função está composta:

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Simplificando os termos:

Passo 6

Podemos fatorar para simplificar ainda mais:

Resposta

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Use a regra da cadeia para achar d/z dt.
z = x^2 * y + x * y^2, x = 3 * t, y = t^2.
Use a regra da cadeia para achar partial zpartial s e partial zpartial t.
z=x^2 sen y, x=s^2 t, y=s t.